12.32 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



celle existence peut d'ailleurs s'établir d'une manière purement analytique, 

 comme je l'ai fait autrefois ( ' ). En supposant le tlux éj^al à 2-, et en dési- 

 j^nant par (u', c) le point singulier, nous désignerons celle solution par 

 (2) U ((/,(■; «',.•'). 



On voit aisément que U est symétrique par rapport à (u, c) et («', c'). 



L'étude de l'équation (i) et de quelques équations qui s'en déduisent, 

 comme celle de beaucoup d'autres problèmes analogues, est devenue parti- 

 culièrement sinqjle depuis les travaux de Frediiolm sur une certaine équa- 

 tion fonctionnelle. Avant eu récemment l'occasion d'étudier ces questions 

 dans mon cours, j'indiquerai sous quelle forme j'ai présenté leur solution. 



'2. Au lieu de l'équation (i), envisageons l'équation avec le paramètre \ 



(3) A\ = lc\/EG~F^Y, 



et cherchons s'il existe une intégrale V de cette équation partout continue 

 sur la surface. J'envisage à cet effet une autre équation de la forme (i) 



(4) AU=c,v/EG-F^U, 



mais où c, est une fonction positive sur la surface, qui peut être différente 

 de (-'. Soit U(w,i'; u',v') la solution analogue à (-2) et relative à l'équa- 

 tion (4). 



On montre sans peine, en appliquant la formule de Green étendue à une 

 surface fermée quelconque rendue simplement connexe comme dans la 

 théorie des surfaces de Riemann, que V satisfait à l'équation fonctionnelle 



(5] 



!7rV(w', ('') + / / (^t- — c, ) U(«, r; «', c') \{u, v) (h = o, 



OÙ (la est l'élément de surface v'EG — F^ cludv. D'ailleurs, au point de vue 

 de la recherche des fonctions V partout continues, l'équation (5) est équi- 

 valente à l'équation (3). 



Le plus simple, au moins théoriquement, est de prendre c, = c, et l'on a 

 alors une équation de Frcdholm 



27rV(«', (•') + (>.-)) / fc(u,v)U{ii,v; u' , v')V (u, v) d<7 = o, 

 équation d'un type très simple, à cause de la symétrie de la fonction U. 



(') Sur l'équilibre calorifique d'une surface fermée rayonnant au dehors 

 {Comptes rendus, 5 juin 1900). 



