SÉANCE DU l') JUIN 1908. 1233 



Pour X quelconque, l'équation précédente n'a d'autre solution que V ^ o; 

 mais il y a une in/lnité de valeurs singulières réelles et négatives, pour les- 

 quelles il y aura d'autres solutions, et pour lesquelles, par suite, l'équa- 

 tion (3) aura une ou plusieurs solutions continues sur toute la surface et 

 non identiquement nulles (X = o est une valeur singulière). 



3. Désignons par X„ une valeur singulière, pour laquelle l'équation (3) 

 ait V solutions linéairement indépendantes 



V,(m,.0, V,(,/,r) Vv («,'•). 



Prenons l'équation en H, 



( 6 ) AH = >.„cVlîG - F^ H + 9 ( ,/, (' ) v/EG — F^ 



Si -p est une fonction continue prise arbitrairement, l'équation précé- 

 dente n'admettra pas pour H de solution continue sur toute la surface. La 

 condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi s'exprime par les 

 égalités 



V,(m, f) 9( w, r) rf(7 = o (t = I, 2, . . ., v). 



// 



On peut l'établir en remplaçant l'équation (6) par une équation de 

 Fredholm avec second membre, avec valeur singulière pour le paramètre, 

 et en écrivant les conditions pour que cette équation ait une solution. Ceci 

 est facile, car les solutions de l'équation associée ligurant dans ces conditions 

 sont 



C{U, V)\i(u, (') (<=1,2, ...,V). 



4. Le résultat précédent permet de traiter une question relative aux inté- 

 grales de l'équation 



AW = Xcv/EG-F2W 



ayant un certain nombre de points singuliers logarithmiques (du type des 

 sources de chaleur). Si A n'est pas une valeur singulière, les points singu- 

 liers et les coefficients relatifs au flux qui leur correspondent peuvent être 

 quelconques. Mais soit X„ une valeur singulière. Les conditions nécessaires 

 et suffisantes pour que l'équation 



(7) AW3=>.„cv^G — F^W 



admette une intégrale ayant les points singuliers 



(«1, *i), (ai,l>ï), ■■•. (««,*„) 



