12.14 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



avec les coel'ficients correspondants 



A|, A,, . . . , A„ 



s'expririienl par les v relations 



A, V,((7,, bt) + \,\i{a,, b,)+.. .-^ A,, V,(«„, b„) —o (< == i , 2, . . . , v), 



les V,- correspondant, bien entendu, comme dans le paragraphe précédent, 

 à la valeur singulière X„. 



En particulier, pour la solution A„ = o, on a v = i (^t V se réduit à une 

 constante; d'où la condition connue 



A,-f- Aj + ...-t- A„ = o, 



(pii exprime que le flux total de chaleur est nul, l'équation (7) se réduisant 

 alors à l'équilibre de température sans rayonnement extérieur. 



.5. L'application la plus simple est relative à la sphère de rayon un, en 

 prenant f = i. L'équation (3) est alors 



(8) cose'^ + s\ne^ + ^~^.-:i.[ue\, 



en se servant des coordonnées polaires et ^ sur la sphère, et Ton a depuis 

 longtemps remarqué que pour 



). ^ — «(« + 1) (/; entier positif) 



elle se confondait avec l'équation relative aux fonctions V„ de La[)lare. On 

 peut voir qu'il n'y a pas d'autres valeurs singulières de A en envisageant une 

 fonction V(0, ■\i) uniforme et continue sur la sphère et satisfaisant à l'équa- 

 tion (8) pour X =^ A,,, et la fonction harmonique dans la sphère prenant ces 

 valeurs sur la sphère. La formule de Poisson montre aisément que, si X„ 

 n'est pas de la forme — /((n-i-i), cette fonction harmonique sera identi- 

 (|uement nulle, et par suite aussi V(0,'|i). Des considérations analogues 

 montrent d'ailleurs que, si A,, a la forme indiquée, l'équation différentielle 

 n'aura d'autres solutions uniformes et continues linéairement indépendantes 

 (|ue les 2/? + i fonctions \„ de Laplace correspondant à cette valeur de n. 



Le cas du tore est à examiner après celui de la sphère. Je ne sais si le pro- 

 blème qui nous ()ccu|)e a été approfondi dans ce cas. Eu désignant par r le 

 rayon du cercle méridien et R la distance de son centre à l'axe, l'équation 

 est ici 



- (R — /■cos-i)2--_. + sino(R — /-coso)- h r —-— =).(R — /■cos'j)/-V, 



