4 PROBLEMES ET THEOREMES 



I. 



FORMULES PRÉLIMINAIRES. 



I. F^e coefficient de x^', dans le développemenl de (1 — x")^"""^', est 



(m -+- !)((« + 2) ...()/( H- (z) 



■ - = C„+j:, j: . 



I 2 ... a 



Par conséquent, si l'on multiplie (1 — a?) ~ '""*"" par (1 — a:)~""'^', le 

 coefficient de x'', dans le produit, sera 



pourvu que 



a -+- a' = p. 



Et comme ce coefficient égale aussi C,„ + ,„ +,, + 1,,,, on a 



2. Plus généralement, considérons le produit 



(1 — x)-<"' + "X(l— x)-<'"'+" X(l — x)-<---^" X •-, 



composé de /"facteurs. Il est clair, sans nouveaux calculs, que 



2^,,,,^,,, x(;„.-Kr,.; X c,,,.^.^.,,., X ••• =<;^„+^_,,, (B) 



(.s = m + m' H- »i" -H ■■ , p = a -I- a' -+■ a" ■ •). 



3. Remmque^. I. Si la somme donnée, s, est décomposée en d'autres 

 |)arties n, n', n'', ..., on aura 



^ '^n+J-.. J. X ''.r+o;'. j,' X ^^/■■■+JL".J',- X ••■ 2i ^m+J-yJ. X '•m'-l-j'.-, j:' X l^ro-'+a", Jï" X • ■• t.,. 



+p+f-l.p- 



II. Si, dans les formules (A), (B), on attribue, aux quantités wj, m', 

 m", ..., a, a', a", ..., des voleurs positives quelconques, on peut obtenir 

 des formules de sommation, relatives aux intégrales eulériennes. 



