D ARITHMÉTIQUE. 15 



En général, 



i 1.2 1 



Si donc â=l: 



La somme S,,_, est comprise entre itx^' " ^ el ?i(x' + 4 )''"' ; donc 

 Ijm —■ = 0. De même pour tous les termes qui suivent le premier. El 

 comme le nombre do ces termes est constant, on a 



(x + 1)''+' — x''+' = (p -t- 1) lim — . 



a 



27. Corollaire. Si n croit iiiflé/inimcnl , la (/uanlité 



ly /2\" (ii — i 



ni \n 



tend vers — !— . 



28. Théorème XV. «, ,5, ■/, p, q ('faut des nombres entiers, soit 



A = (a- ^- r^F ~ 2[(a- + fr + r")r" — «"(5*]p7 -+- (S- -I- 7--)-f/' . . . (18) 



Le no)nbre A est la somme de deux carrés : I " si à: -\- fy -{- y' est un 

 carre ; 2" si pq est un carré. 



I" Multipliant les deux membres par (x' -\- y'J-, on trouve 



(a' + y ■')- A = j (se- -t- r'Yp - [(«' -4- ?■ -+- r') r' — «'s-]f/ j - + 4a-j3V' (-/> + |3- -+- r')7'. ( 1 9) 



D'après Thypothêse, le second membre est une somme de deux carrés; 

 donc A, divisant cette somme, est aussi la somme de deux carrés; 

 2" L'égalité (18) équivaut à 



A = [(a- ■+■ r')p — {f -+- r'](iY -t- 4«',S''P7; 

 et la propriété est démontrée. 



(.*) Cours d'Aiitiliisc , p. 7(1. Ii'i, l;i iKitalioii S,, l'i'jjivsciiU' 



XI' -4- (X -»- J)'' -f- ( J + ■2i}P + • • ■ -4- (X -t- Il — 1 ^)". 



