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QUELQUES THÉOKÈMES 



Donc 



E(.r) + E l.i- H — -+-•■• -t- E (.<■ H 1 = {il — p)a -h p (a -i- 1) ^ lia -4- p. (lo) 



Et comme, craprès les relations ( 14-), itx est compris entre na -\- p et 

 na + /> + 1, le second membre de régalilé (lo) se réduit à E[nx). 



23. Tiii-oiiÉME XIII. Si l'on conserve les (lénoiiihialions cmploijées dans 

 le Théorème XII , cl rjue l'exposant k soit un nombre entier, on aura 



(E(x)]'-*-|^E(x^i 



Même démonstration. 



+ ••• -t- E X -t- 



[E(x-t-^^)T = («-p)(E(x)J'-4-/)[l +E(,r)]'. (16) 



24. Corollaire. Si x est compris entre et \ 



[E(x)j'- 



E x + 



E X 



n — i 



= E(/u-). . . . (17) 



En eiïet, E(.r) = 0; donc le second membre de Tégalité (16) se réduit 

 k p = E (nx). 



21). Remarque. La fonction de k, formant le premier membre, est indé- 

 pendante de k. 



26. Théorème XIV. Si le nombre entier n croit indéfiniment, la quantité 



X' -t- I X H 



n 



n — W 



tend vers 



p -t- I 



[(x -t- 1)"+'- x''+'] (•). 



(*) I^robablement, cette propriété n'est pas nouvelle. Quoi qu'il en soit, comme je l'écri- 

 vais, naguère, à M. Hermitc : « depuis cinquante ans, j'aurais dû la découvrir; mais on 

 « pense rarement aux choses simples ». 



