D'AKITHMÉÏIQUE. 13 



21. ThéoréjME XI. .SV n es-; an uomhrc impair, ol r/ac p, p' soient de 

 parités contraires, n divise S. 



Dans le second membre de la formnie (H), la somme de dcnx fermes 

 également éloignés des extrêmes est 



/ '■ [n - /■)'■• + / "■ (n - lY = on. . n + /•"+"' | (- I )^' + { - I )'' = JK. . « , 



parce que le binôme entie parenthèses est nul. D'ailleurs, n étant impair, 

 la somme S est composée d'un nombre pair de termes. Donc enfin 



22. Théorème XII (Théorème d'Hermite (*)). u étant un nombre entier, 

 et X un nombre quelconque, 



E(.r) -+- k(x+ -j -M h E ix + '^-—j = E{nx) (13) 



Si l'on évalue x à moins de ,',, on aura 



a -f- -^a- < a-f-' •; 14) 



n ^ H 



a étant la partie entière de x (**), et '^ une fraction proprement dite. 

 De là résultent les valeurs suivantes : 



/ l\ / n—j) — \\ 

 E{x)^a, lî;(x + -l = a, ..., EIxh 1 = «, 



Eit + ^ =(t-t- 1 (*"), E X + '-\=u -4-1, ..., eIxh l = a ■*• 1. 



* ) L'illustre Géomètre a bien voulu nie le communiquer. 

 [**) Elle peut être nulle. 

 ;***) En effet, les relations (14) donnent 



n — p 



X H ■> a -\- 1. 



