10 QUELQUES THÉORÈMES 



Chaque groupe est un multiple de a , augmenté de 1'' + 2'' + ■ • • -f- a'' 

 = S{a,ji). D'ailleui'8, il y a Ijc groupes; donc 



S{abc,p) = DYL.u-h-h<; S{a,p) (12) 



= DR .1, -+- caS{b, p), 

 = JTL- *■ -t- (ib S(c, p). 



\'A. Lemme VI. Les mêmes choses rfunf posées que dans le Leiinne ]' : 



l" Si les sommes S(a,p), S(b,p), S(c, p), ... sont, respectivement, 



divisibles par a, h, c, ... , la somme S(abc ... g, p) est divisible par al)C ... g; 



2<* Dans le cas contraire, S(ai)c ... g, p) n'est point divisible par abc ... g. 



1° Soient: 



S,(i,,p) = Jïl.u, S(6,;j) = JR .^ ... 



Les relations (42) deviennent : 



s (abc, ;>) = DTI . « = Jll . h = JR . c. 



Donc, par un théorème connu, 



S(ubr,p] = CfYiU'Ix^). 



2° Si, dans la première de ces relations, S(«, />) n'est |)oinl divisible 

 par a, S(abc,p) ne l'est pas non plus. Donc, etc. 



1 4. Théorème VUE Soit n = a'^ b^ c''. . . , a, b, c, . . . étant premiers, iné- 

 gaux et impairs : 



i " Si aucun des nombres a — 1 , b — 1 , c — \,...ne divise p, S,, = Jll . n ; 

 2" Dans le cas contraire, S,, n'est pas divisible par n. 



13. Corollaire. Si les nombres n, p sont impairs, et <jue p soit premier, 



S, = JR,.»/. 



