8 QUELQUES THEOREMES 



On », |)Hi' l;i rornmlc du hinômo : 



l«2(i'' = ilXl . !-*:> + /' . l-2oM"^' -V- I'', 

 127" = :nL . l 'l'r + ;> . 1 25 . 2''^' -t- 2", 



aaO" = .m . 1 25- -H ;y . 1 25 . 1 23'' 'h- 1 25"; 



puis, en obsorv.int (jnc 12o'- est ini multiple de (i2o : 



1 2r." H. 1 27" + ■ • • H- 25(1'' = JR. . (125 -i- // 1 25 . S ( 1 25, p — 1) -+- S (1 25. />). . (12) 



De même : 



251" -4- 252" -4- ■•• -4- 575" = JlL.(i25 -+- /; . 250 S (125, /< — I) -+- S(125, ;>), 

 57(1" -4- 577" -V ■•■ -H 50(1" =511 .(•-25 -+- ;». 575 S (125, /> — 1) -+- S(125,p), 

 501" ■+- 502" -H ••-+- (525" = JR .(i25 + ;<. 500 S (125, /< — 1) + S (125,^). 



Cons('queniment : 



1- + 2"-+- •• -t- (■)25" = ,'Hl .025 -+- ]i. 125 (I -H 2 + 5 + '(.)S(125.yj — l)-i- 5S(l23,/>). 



La somme 1 r 2 + H + 4 = ^esl un multiple de o (*). Donc 



S((;2o,/>) = JR.C>25+ 5S(l25,/<), 



OU 



.S(5',;j)=JR . 5' + 5S(5%;j) ("). 



De mi-ine : 



s (5, ;j) = JR, . 5' -I- 3 8(5', p), 

 S(5%/)) = ./ÎL . 5^ + 5 S (5,;)) 



Élimin;iul S(rv', /v) el S(o-,/^), on a 



S(5',/j) = .'ru.(5')-4 5=S(3,;i). 



C. Q. F. D. 



*i Dans le cas liénoral, cctto somme devient 1 -i- 2 -v- :i -4 +irt — 1) = — 5 — = JlL .", 



puisque a est imjxiir. 

 (**) En général 



