D ARITHMÉTIQUE. 7 



8. Théorème VI. Si n+ I est un noinbie premier, supérieur <) 2, et 

 tel que n ne divise point \), S,, est nuiiliplr de n -f I . 



Mêmes démonslntlioiis : Il sullit de r('m|)la('er la relation (7) par la rela- 

 tion (9), et le Théorème 1 par le Théorème II. 



9. Re)it(ir(/ae. Le Théorème II est un corollaire du Théorème VI; ou 

 plutôt ees deux théorèmes n'en font qu'un. En ellet, d'après le second : 



I" -f- ;2'' -)- i- {Il — I)" H- H" = 0X1 [n + I), 



si n -\- 1 est premier cl (pw n ne divise point p. 

 rJiani>;eant n en n — 1, on a cette proposition : 



K H- -!>• -\- ■■■ -+- (II— !)" = JIL.H, 



si n est premier el (pie n — 1 ne divise point p. Ajoutant ni' au premier 

 memhre, on retrouve le Théorème II. 



10. Théorème Vil. Si n -f- 1 est an nomhre premier, supérieur à 2, et 

 tel (pie n divise p, S,, est un nndiiple de n + 1 , diminué de l'unité. 



Cette |)ropriété est comprise dans le Lemme II. 



H. Lemme III. a élunt an nombre impair, soit 



s {(f^-, p) = 1'' -H -2" -+- ô" -H ■• • -+- (fj'^)''. 



On a 



Sia'',p) = en. ■""■-*- 'i"-' s (u,p) (Il) 



Pour (ixer les idées et simplifier l'écrilure, prenons u = o, a=4-; de 

 manière que 



S(5',/j) = I" -+- -2'' + 3'' -H . •■ + 6:2b''. 



Décomposons le second membre en 5 içroupes, composés, chacun, de 

 125 termes, savoir : 



!'■ -t- 2" H -+- l-2.y, 1-26" -t- 127" -+- ••• -f- 2;J0", 231" -f- 252" -+-•.•-♦- 575", 



376" -+- ô77" H H 300", 301" -t- 302" -t- ••• + 623". 



