SUR QUELQUES INTÉGRALES DEFIMES. iS 



Quant aux relations (21 ), (22), (23), elles prennent les formes suivantes : 



.■.--H.-e)v^--,/e^l>)_l>;-j^^^^^^^.^ . . . . (Q) 



7 (\ — 6xf r(v) 







r(a)r(r-«) 



r (|_to)'^-yev-^-'(| — ey-Vf9= \.,' "' F(7— «■ ?— ^, y.J), • • (H) 

 , / 1 (r) 



n 



F(«,|5,r,x)=(l-a;y-^-''F(:— «,r-p,r,x); . . (S) 

 OU bien celles-ci, un peu plus symétriques : 



y (I — exY 1 ('/ + a ) 







/l r(a)l"(a') 

 (1 _ ox)''---'-' 0^'-' (1 — flY V/e = — ^ F(a', a + a — fi, a -4- a , x), (R ) 

 r (^ H- a ) 



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F(a. [3, a + a', a:) = ( I — xV" -''F(a', y. -+- a' - (3, '/ -4- a', x). (,*) . . (S') 



De (S), on conclut : 



F (a, f5, rr J;) _ F(,r - g, r — jB, ■:-, j) ^ 



F (a + r?, p — r?, r, J) "~ I' (r — " — 'h r — ? -+- '^^ r, ■<■) 



OU 



F (a -4- <î, ^ — ef, r, Jr) Ff''- ?' "■• -"'^ 



Ci») 



l.-(y _ a - (J, r — j3 -I- (J, 7-, ■' ) F^r — a, r — 8, ?■, .. ) 



Ainsi, /r nipporf des fonctions contenues rhtns le premier membre est, 

 imlépemhwt de i. 



[*) L'égalité iQ) a été donnée par Binet (Jouninl de l'École pohiteelniiqiie, il" Cahier, 

 p. 314). Quant au beau théorème qu'exprime l'équation (S), on le trouve dans les OEuvres 

 de Gauss (t. ttt, p. 209). Bien entendu, le grand (Jéomètrc y est parvenu en suivant un 

 procédé tout différent du notre. 



