SUR LES FONCTIONS X„. DE LEGENDRE. 



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Ce n'est pas tout : on sait que 



->;(:+ i/d 



^x _i z' 1.3 z' 1.3.5 z' 



'~'^~'îii'^ YJ j ~ 2 4 6 y 



Donc : 



]" La série (T") est le carré de la série (48) (*) ; 



t' La série (U") est le produit de la série (48) par la série 



! . 1 



i.3.5 



2* "^ 2.4' 2.4.6' 



développement de [\ + ■/') '(**). 



23. Problème. — Développer la fonction 



y=--C 



1— jrr-+-l' 1 — 2j 



Cette fonction s'annuiant avec z, on peut supposer 



y = J B„z". 



D'ailleurs, 



dy 



V \—-ixz- 



X — z -nac \/i — -2xz + z^ 



<iz i_a;2+ j/i_î)a 



l' 1—2x^-4- «' 1— x«-H V\—'lxz- 



ou, après quelques réductions faciles. 



ihj I 



I 



1 



_V/ 1 — 2a« -t- z' 



Le second membre est la somme de la série 



X, -t- X.,: + ••• -+- X„z" ' H- 



(48) 



(49) 



(r.o) 



(*) (;ette propriété ne diffère pas, au fond, de celle qui a été découverte par Clausen 

 {Traité élémentaire des séries, p. 203). 



(**) De là résulte une identité numérique, inutile à rapporter. 



Tome XLVL d 



