SUR LES FONCTIOINS X„, DE LEGENDRE. 21 



Prenant les dérivées, on a 



, du du 



— (X—z) H M (X — Z) M 



I -t- (x — z)u 1 -+- (x — z)u u ^, « dz ^„ 



Le premier membre égale 



M — (x — z)-r\ ; 1 



L ^ ' dz\\_\ —{x:—z)u \-Y.[x — z)u\ 



= [« - (X - z)^*=] [- -^— TT-i] = 'i«- 



*■ -■ |_1 — (x — z) »' J 



Ainsi l'égalité (ii) devient 



« = - 2 "A„2"-' — H (x — z) 2 A„2", 



W 1 



OU 



1 = (1 - 2xz + z') ^nkX-' -i^-z) 2" A„«" (45) 



I 



Il en résulte A^ = 1 + K^^x, puis la loi de récurrence : 



(n -4- 1)A„+, — (2?t -*- l)xA,. + hA„_, = 0, (S) 



semblable à celles que nous avons déjà rencontrées (**), 



(*) La dérivée de 



A(, -t- A,3 -H A,2' H 



est 



A, -t- 2A,s + 5A.:' -«. -■, 

 c'est-à-dire 



2"nA„3"-'. 



(**) Dans son Mémoire sur les fonctions de Legendre (Journal de Resal, 1. 1) M. H. Laurent 

 considère la quantité 



« Q„{x) désignant un polynôme entier en x de degré n en plus >i. Après avoir démontré 



