14 SUR LES FONCTIOISS X„, DE LEGENDRE. 



II. Quand n est impair, W pi-einier membre est encore divisible par x, 

 bien que les termes 



I , I , 1 



"-*-'' â "-" 7 ^î*»ll-35 •••' 7 A„ 4X1, 



2 4 M -H 1 



n'admeltent pas ce diviseur (*). 



18. Saile. — Essayons d'évaluer chacun des polynômes 



X 



1 



,X„ -+--X,X„ , -4--X,,X„ , + ... -+- -X„X„ = S„, .... (29) 



2 .1 « -t- 1 



-X„X„+-X,X„_, + ...H- -X„X„ = S;,; (50) 



2 o n -\- \ 



ou, du moins, de former les équations auxquelles ils satisfont. 



En premier lieu, il est clair que la fonction génératrice de S„ est le 

 produit des quantités 



M = Xo -H X,c + •.. -H X,,;" -t- (5J) 



y udz = X„z + - X,.^ + ... + ^-— j. X„2-' -f- ... , (32) 







u représentant -j-====^. Autrement dit, 



/; ce 



udz = 2 S„_,^" 

 1 

 



On déduit, de celte égalité, 



dzj ^, 



(33) 



-.^" '; 



(*) Si l'on exprime que la somme de ces termes s'annule avec ,r , on retrouve la relation 

 111 1 



■ C2„,„ -t- - C», 1 • C2n 'i,n-lH Q, t . C2,, - J, „ - 2-1 h Cj„, „ = - C2,n.î, „+l , . . (B) 



n -+- 1 '1 n ~ \ '2 



dans laquelle, on doit se le rappeler, n est un nombre entier quelcon(iue. 



