SUR LES FONCTIONS X„. DE LEGENDRE. 13 



Le [)remief membre de l'égalité à vérifier est, en conséquence, 



-(I 02ia' - I oôfix» + f)40x"' - 64x) --= SrlIOx" - 24^' -t- l(»x' - I). 



O 



D'un aulre côté : 



, TT 1/5 H- 1 Stt l/â — I , 4;r 1 



cos* - = ^- , cos — = ^ , cos^ ^ - ■ 



s 21/2 ^ •_> 1/2 8 - 



Donc le second meml)re égale 



2'.r X* — xV -| (a:'—-) = 8a; (8x'— 8x' -t- 1 ) (2x^— I) = 8x( 1 6x" — 24.t' -t- lOx'— 1 ), 



comme le premier. 



4 6. Théorème. — On a, entre n -)- 1 fondions consécutives, la relation 



11 1 



X„-(.i H — - XoX„ 1 -t- - X|X„_2 + •■• -• X„-(Xo 



2 o 7J + I 



x„x„ +^x,x„_, + lx,x„., + .- -t- -~ X„X„ 



2 a n + \ 



Si Ton combine, par multiplication, les égalités 

 1 



(K) 



1/1 — 2xz H- r' 



I -t- X,; + X,r + - -H X„+,:"+' -f- •-, (16) 



I 1 



1/ 1 — 2xz + z- = 1 — x; -t- - (Xo — xX,)s' -H - (X, — xX2)z' -+- 



^ X„_, — xX„)^"+' + - 



;r:n^ "-' 



(18) 



et qu'on égale à zéro le coefficient de s""^', dans le produit, on trouve la 

 relation indiquée. 



47. Remarques. — L Si n est pair, tous les termes du premier membre 

 sont divisibles par x. 



