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SUR LES FONCTIONS X,„ DE LEGENDRE 



En effet, ces valeurs s'accordent avec celles-ci 



r 2t 4r «T 



2 cos — -»- cos 1- cos — 



[7 7 7 



r 2t -ir 4t Ctt fia 



4 COS — cos 1- cos — cos — - -t- cos — 



[77 77 7 



= -1, 



fiT 2- 

 C'OS 



7 



= 9 



-1- 43- 6t 



8 COS — • cos — - cos — - = I 



777 



auxquelles conduit la théorie des équations binômes (*). 

 14. Théorème (**). — 1° 5< n ex/ pair, 



X„X„+ X.X„..H- • . + X„Xo = 2'' l*"-cos'„-^) (x— ^'"s" ' 



?l-H I 



, X — cos- 



n-+- 1 



;(G) 



2° S/ n es/ impair, 



X„X„ + X,X„^.+ ... + X„X„ = 2'^x (a-=-cos-^-^^) (x^-cos^'" 



15. Application. — Soit « = 7. (H) devient 



2r \ I 2 , 



U'-cos^ -/.(H) 



•1/ \ »-t-1 / 



2 (X„X; -*- X,X,, + X.X, -t- X3X4) = 2'x ^j:'- — tes- ^j ^.(-^ - cos- ^j [x' — cos^ 



Or 



X„X, = — (429x' - 693x' + 31 3x' — 53x), 

 16 



X,Xe = — (231 x' — 51 ox» -t- 105x'^ — Sx), 

 i6 



vx, = — (5x-- l){G3x^-70x' + 1 E)x) = — ( 1 89x" - 275x=' -+- M5x' — 15j), 

 16 I b 



X,X, = — (Sx"' — ôx) (âSx* — ôOx- -+- 5) = — (l7oj' — 2S.M* -+- lOox' — 9x). 



(*) Couru (l'Analyse, pp. 276 et 28o. 

 (**j Évident par ce qui précède. 



