10 SUR LES FONCTIONS X„, DE LEGENDHE. 



II. Soit a = r , auquel cas .r = ,. Nous avons cette triple égalité 



n-t (k— 2)(n— 3) (n— d)(m— 4)(«— 5) 



[x„x„-.x,x„_.+...-.xA]i = i — pH- ^ ^^1^ '\-^ '--.■ 



sin [n -t- 1)- 

 = ?=+!, —1 ou OC). 



sin - 

 o 



(24) 



13. Discussion dhme équation. — L'égalité (23), à laquelle on n'a pas 

 fait suflisamment attention, croyons-nous, permet de décomposer, en fac- 

 teurs, la quantité 



/■(a;)= XoX,.+ X,X„_, -f- ••• -+- X„X„. 



Mais, préalablement, discutons l'équation 



(Sa-)" — C„_,, , (2ï)"-=-»-C„_o,,,Cia;)"-' =0 (25) 



\° Si n est impair, elle a une racine nulle. 



2° Cette racine étant mise de côté, pour ainsi dire, les autres racines sont, 

 deux à deux, égales et de signes contraires. 



3° A cause de la relation (23) ces racines sont données par la formule 



X =± cos > (26) 



n -t- 1 



(*) Le résultat est + 1 lorsque n = 6»t' ou Qn' + \; il est — 1 {}uand n = 6m' -+- 3 

 ou 6jj' h- 4; il est nul, entin, si n = iSn' -h 2 ou Go' + 5. Dans la Note citée, nous avons 

 considéré le cas de a ^ 0. Si l'on se rappelle que, pour x = | , 



(premier Mémoire, p. 13), on trouvera remarquable, peut-être, la formule 



( + 1 1 

 [XoX„-t-X,X„-, +•.. -(-X„Xol,= — 1 • 



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