SUR LKS FONCTIONS X„. DE LEGENDRE. 9 



14. Théorème. — On «, identiquement^ 



X„X„ + .\,X„_. + ■•■ + X„X„ = (2x)"-C„_,,,(2a:r'+C„.,,,(l>x)"-' . . (F) 



On sait que 



sin(n -I- 1)« 



X„X„ -+- X,X„ _, + ••■-+- X„Xo = ^ (5) 



sina 



D'un autre côlé, d'après une formule attribuée à Viète : 



sin(«+ '>" ^(3.,y._C,._,.C2.rr'^ C„_,,,(2x)'-'- -(•) . . . (23) 

 sma 



La relation (F) est donc démontrée. 



12. Remorques. — I. Bien que les polynômes X^, X^, ..., X„ aient des 

 coefficients fractionnaires, la quantité 



X„X„ + X,X„., -f- ••• -t- X„Xo 



est un polynôme à coefficients entiers. 



(*) Sur quelques développements de shrnx et de cosnx. (Nouvelles Annales de Mathéma- 

 tiques, 1883.1 



De cette formule de Viète, trop peu étudiée, on conclut encore les propositions suivantes : 



1° Si l'un lait x + ^- = z,la réduite de 



x'n + a;2"-*H (- a' -t- I = 



est 



2° On a, identiquement, 



1_ "~ '- sillet» cos=<f + <" ~ ^> ^^' " } sin4(pcos<!f = sin^^tp + sin«"-'(pcos'tp + ••• -i- cos'"«>. 



Tome XLVl. b 



