8 SLR LES FONCTIONS X,„ DE LEGENDRE. 



II est clair que S„ est la partie réelle de 



e"f y^ — - c"-^)?^'^ cos(p -+- '"'~ e'»-')?»^^ eos'9 cos"(p = (e»»/^ — cosç,)", 



OU la partie réelle de (1/ — 1 siuy)". 



Or, // étant ùnpuir, celte (piantité est nulle. 



9. ïuÉouÈMt. — Le nombre 11 étant pair : 



arctos s 



sin"cp ildi 



/an 

 sm"cp 

 cos"+<cpi/cos^(p — x' 

 ^ 



Même démonstration. 



10. Remarques. — I. On peut prouver que la valeur de l'intégrale est 



Cn. " 



2 x"-^' \ 4 



Donc la dernière égalité se réduit à 



X„-C„,,xX„_, + Q,x%,_,--+x''= -^— C," . . . . (E) 



II. Toujours dans le cas de n pair, l'équation F„(x) = a n racines 

 égales à + 1 , n racines égales à — 1 . 



m. Si Ton néglige un fadeur numérique, 



((/x)» 



(*) Voir la Note sur quelques intégrales définies. 



X- 



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