SUR LES FONCTIONS X„, DE LEGENDRE. 7 



Remplaçant n par %i + 1, on a donc celle relalion comOinatoire : 

 1 1 , , 1 \ ^ 



« -+- 1 II II 1 ^ -r , -r .w \ / 



Exemple 



ou 



ou 



d 1 , 1 ^ 1 , 



4 a 2 i2 



3 5 1 



- -20-+--. 2.0 = -- 70, 



4 (j 2 



2S -4- 10 = 35. 



8. Théorème. — Le nombre n étant impair : 



X,. — C„, ,xX„_, -*- C„,jx%_j jc" == (C) 



Soit F„(a?) le premier membre. D'après la formule 



/arc cosjc 

 cos nm d(D 

 ——r ■ (12) 



on a 



* arccos X 



^/ cos»+'cp l/(os'(p — x' 



en posant 



n iihi — 1 



S„ = coswtp cos n — 1 (p coscp h cos n — 2(p cos'cp — • • • — . pos"cp. 



(*) D'après un théorème connu {Cours d'Analyse, p. 48), chacun des termes du premier 

 membre est un nombre entier. De plus, la somme des coefficients de deux termes semblables 

 est une fraction dont le numérateur est n -t- 2. 



