SUR LES FONCTIO.\S X„. DE LEGENDRE. 



Il 



KELATlUiNS EiNTHE LES FONCTIONS X„. 



6. La coml)inaison des formules 



J 



\Jx-- 



Il -t- 1 



X„+,= X„ f'Xjlx -+- X, f\„_>dx + ■■■ + X„_,/'x,(/x -H X„ (I + x) 



donne, au lieu de la seconde, 



a:X„ — X„_, jX„_, — X„_, 



Xo -, -+- ^1 



n -4- 1 " 



jX, — x„ 



: X„+, — XX„ 



(6) 



(7) 



(A) 



7. Remarques. — I. Chacun des binômes est divisible par x^ — 1 (1). 

 Donc les deux membres admettent ce même diviseur, 



IL Si n est pair, les deux membres sont divisibles par x (*). 



IIL Si n est impair, et que l'on fasse x = 0, Tégalité (A) devient 



■X„X„_, XjX„_3 x,x„ 3 x„_,x„" 



1 , 1 H 



n + \ Il — I II — ô -2 



[X.-^,],. 



Or, 



[xv.i„ = ± 



■1.5.5... n 



2 . 4 . 6 . . . n -H t 



(8) 



OU, par une transformation bien connue. 



1.2.5- n +1 1 ^ 



[2.4.6 ••■ n -t- 1]' 



(*) En effet, X„+, s'annule avec, x |8). 

 (**) Cette fois, on doit prendre le signe supérieur si ?) -h 1 = ."'Il (4). 



