DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQLE DE PREMIÈRE ESPÈCE. il 



après quoi l'on obtient, par les égalités (21) el (22) : 



Xdx 



/*(■ „ n-l „(«— 2)(«— 3) 1 (Ix /'" X 

 4"X,„-4'-'-— X,„_, + 4"-'^ — -^X,,,,. ^=^=/ "- 



'l/x°--l 



(•)■ (27) 



VIU. 



L'intégrale / ^„_^,'",^— -^ peut être remplacée par une autre, de forme 



plus simple. Posons, à l'ordinaire, x = -; et, pour éviter toute obscurité, 

 appelons Y„ ce que l'on obtient en substituant celte valeur dans X„, et en 

 multipliant par y" le résultat de la substitution (**). Il est clair que -f 

 devient Y„ (***). Donc 



i 



2 /^ ' Y„ . (Il/ 





8" 



(28) 



(29) 



(*) Les fonctions Xj», \i„—i, \in-i, ■ ■ ■ étant paires, on a 



Xdx 





V/l — x^ 



(**) Si Ton considère les équations 



x„ = 0, Y„ = 0, 



la seconde est la transformée, en |, de la première. Mais, si n est impair, la valeur infinie 

 de y, répondant à a; = 0, disparaît : elle n'est pas donnée par Y„= 0. 

 {***) Si n est pair, X„ a la forme ax" + bx"'"- -+- ■■■ -h fx'' + g; et alors 



\\ — a + by'-\ t-gy". 



Si n est impair, 



X„ = aa;" + 6x"-'+ — h/œ'-f-gx, 



Y„ =a-\-bi/-i hgy"-'. 



Le polynôme Y„, qui se forme à vue, est donc, suivant les cas, du degré n ou du degré 

 n — 1 : ce degré est toujours pair. 



