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 ccfiens, on lioiivera toujours dans le polygone au moins quatre côlcs, dont 

 chacun sera adjacent à deux angles, qui varieront en sens contraire. 



Un angle solide quelconque, pouvant être représenté parle polygone 

 spliérique que l'on ul.'tient en coupant cette angle solide par une sphère 

 décrite de son sommet comme centre avec un rayon nrhitrairo , on voit 

 qu'il sufTit de substilue r dans les théorèmes précédcns les noms d'angles 

 solides 5 d'angles plans et d'inrlinaisons sur les arcles , à ceux de poly- 

 gones sphériques de côtes et d'angles , pour obtenir autant de théorèmes 

 sur les angles solides. Le dernier peut s'énoncer de la manière suivante. 



6°. Si, dans un angle solide dont les angles plans sont invariables, on 

 fait varier les inclinaisons sur les différentes arêtes , on trouvera toujours 

 au moins quatre angles plans, dont chacun sera compris entre deux 

 arêtes sur lesquelles les inclinaisons varieront en sens contraire. 



A l'aide de ce dernier théorème et de celui d'Euler, M. Cauchy dé- 

 montre comme il suit la proposition d'Euclide, qu'il énonce ainsi : 



Dans un polyèdre convexe, dont toutes les flices sont invariables, les 

 angles compris entre les faces, ou, ce qui revient au même, les inclinai- 

 sons sur les diflcrentes arêtes sont aussi invariables; en sorte qu'avec les 

 n.ê !ies faces on ne peut construire qu'un second polyèdre convexe symé- 

 trique du premier. 



Démonstralion. En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus^ que l'on 

 puisse faire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans détruire le 

 polyèdre; et, pour simplifier encore la question, supposons d'abord que 

 i'^n puisse faire varier toutes les inclinaisons à-la-fois , les inclinaisons sur 

 certaines arêtes varieront en plus , les inclinaisons sur d'autres arêtes varie- 

 ront en moins; et, parmi les augles plans qui composent les faces et les 

 angles solides du pclycdre , il s'en trouvera nécessairement plusieurs qui 

 seront compris chacun entre deux arêtes, sur lesquelles les inclinaisons 

 varieront en sens contraire. C'est le nombre de ces angles plans qu'il s'agit 

 de déterminer. 



Soient S le nombre des angles solides du polyèdre , 

 " H \e nombre de ses faces , 



A le nombre de ses arêtes. 



Oa aura , par le théorème d'Euler , S -\- H :=z A -\~ 2 , ow A — H = 



S-2. 



Soient de plus , aie nombre des triangles, b le nombre des quadrila- 

 tères , c celui des pentagones, ^ celui des hexagones, e celui des hepta- 

 gones, etc.... , qui composent la surface du polyèdre. On aura 



H z= a-i-b'+C'^d-^- e +, etc. 

 2 A = 5a 4" 4^ + 5c H- 6il-+- 7e -}-, etc. 

 et par suite, ^{A—H)= 2a -)- 4* -f- 6c -f- 8 J -j- ioe + , etc.... 

 Cela posé, si l'on considère les angles plans compris dans la surface du 



