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"autliM intégrer par rapport à x , depuis x = —'a:' jusqu'à x = -\- x' ; ce 

 ni donne 



en faisant , pour abréger 



A z^ y/" ,- x' — ay-\- {y — by^jz — cy , 

 A'= /^ x' + ay -\-^j--by-{-(z — cy. 



La quantité x' est déterminée par l'équation de la surface que nous pou- 

 vons représenter par 



■Î- + -T- + 



A , A' , A" étant les trois demi-axes de Vellipsoïde. Au lieu d'en tirer la 

 valeurde^'en fonction de r et *,M. Yvory exprime x',j et z en fonctions 

 de deux autres variables 9 et «p , de celle manière : 



a:' =: A.sin.9 , j- = A'.cos.ô sin.(p , - = A".cos.ô cos.<p. 



Ces valeurs rendent identique l'équation de la surface, de sorte que les 

 angles ô et ip sont deux variables indépendantes que l'on peut inlroduire 

 dans le calcul, à la place de y el z ; or, d'après les formules connues 

 pour les thaugemens de variables dans les intégrales doubles, oa aura 

 djdz = — A'A'/.sin.S.G0S.9.<;?? di ; 



la valeur de a deviendra donc 



-^(^-^) 



sin.G.cos.S.<f ^ J9 ; 



et les quantités A et a' se changeront en des fonctions de 9 el(p. Quant 

 aux limites de celle intégrale double, i! est aisé de voir qu'il faut inté- 

 grer depuis 9 = o jusqu'à 9 = 20u° , et pareillement depuis (p = o jusqu'à 

 4. = 200° ; car il est évident qu'en donnant aux angles 9 et G toutes les 

 valeurs comprises entre zéro et 200° , les variables j et z prendront 

 toutes les valeurs comprises entre -j- A' et — A' , + A" et — A ' , c'est-à- 

 dire , toutes les couples de valeurs qui correspondent à des points de 

 l'ellipsoïde. 



Maintenant concevons un second ellipsoïde , passant par le point attiré , 

 et qui ait le même centre et les mêmes foyers que l'ellipsoïde donné. 

 On pourra toujours déterminer ses trois axes , de manière à remplir 

 ces conditions, et l'on sait qu'ils n'auront qu'un seul syslème de valeurs 

 réelles {*) ; nous appelerons h, h' , Ii" ses demi-axes j et comme l'ellip- 



(*) MécauiuLie céleste, loin. II , p.ig. 20. 



