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de diamètres conin2;iics représenieront en direction tous les systèmes 

 de laui:fenies conjuguées. 



M. Diipin nomme cette courbe l'indicatrice , parce qu'en effet il 

 prouve qu'elle irKli(|ue par sa nature le sens des deux courbures prin- 

 cipales fie la surface, en chacun de ses points. 



lîl Les deux axes de l'indicatrice ou les tangentes conjuguées rcs- 

 tangulaires , sont tangentes aux lignes de plus grande et de moindre 

 courbure. 



IV. Pour un même point d'une surface donnée , le rayon de cour- 

 bure de chaque section uormalfc est proportionnel au quarré du dia- 

 mètre de l'indicatrice qui se trouve dans le plan de celte section ; d'où 

 il suit que selon que rimlicairice est une ellipse ou une hyperbole, la 

 somme ou la différence des rayons de courbure des sections qui ré- 

 pondent à deux tangentes conjuguées, est une quantité constante, égale 

 à la somme ou à la différence des deux rayons principaux. L'un de 

 ces deux rayons devient infini , et la courbure disparaît dans un sens , 

 lorsque l'indicatrice se change en une parabole ; ce qui arrive , par 

 exemple, en tous les points des surfaces développables» 



Dans le second et troisième mémoires , M. Dupin applique l'analyse 

 aux questions qu'il a traitées dans le premier , et par ce moyen il 

 développe et complète les démonstrations de plusieurs des proposi- 

 tions précédentes. 11 forme l'équation de l'indicatrice pour un point 

 quelconque d'une surface donnée ; quand cette courbe est une el- 

 lipse, les deux courbures de la surface au point que l'on considère 

 sont tournées dans le même sens ; elles sont tournées en sens opposés 

 lorsque l'indicatrice est une hyperbole. De celte manière , l'examen des 

 diverses inflexions que la surface peut éprouver par rapport au sens 

 de ses courbures , se trouve ramené à la discussion fort simple des 

 courbes du second degré. 



Dans le cas de l'indicatrice hyperbolique , l'angle des asymptotes fait 

 connaître le rapport des deux courbures principales. Il est droit et 

 l'indicatrice est une hyperbole équilaière , en tous les points de la surface 

 dont l'aire est un minimum entre des limites données j car on sait que 

 cette surface jouit de la propriété d'avoir en chacun de ses points ses 

 deux rayons de courbure principaux , égaux et dirigés en sens contraires. 

 On sait aussi que si une surface du second degré peut être engendrée par 

 une ligne droite , elle est susceptible d'une seconde génération sem- 

 blable , et qu'il y a toujours deux génératrices qui se croisent en chaque 

 point. Or , M. Dupin prouve que ces deux droites sont les deux asymp- 

 totes de l'indicatrice ; d'où il conclut que sur un hyperboloïde à une 

 nappe , et sur un paraboloïde hyperbolique , les directions de la plus 

 grande et de la moindre courbure en un point quelconque partagent 



