'% 



(3,1 ) 



-jues équations du diamètre principal qui passe par le point (x',y, z') 



tant 



k 



Y y' . x' y' 



>=o. 



S trois équations précédentes deviendront : 



(5) /' j,<P + 4 cos (/, ^ ) + cos ( A , /) î == 71'^ , 



(6) r i^+v cos (/, ^ ) + cos (g-, h)] = fi',}., 



(7) A'i ' +'^coi{g,h)+<fcos{h,/)] =R\ 



D'où l'on tirera les valeurs de R^ , (p , 4 > quantités qui déterminent 

 la longueur des trois diamètres principaux rectangulaires , et la direction 

 de ces diamètres , par rapport aux trois diamètres conjuguésy^, g, h. 

 Eliminant <p et 4 » on obtient l'équation : 



-RH/' + g' + ^n 



+ R' \/^g^ sin- (/, g) + g^h' sin' ( g , A) + h]f sîn' ( A , /) } 



—/'g'h^ \ i—coi^(J,&)—cos'{g,h)—i:os\h,/)—zcos{/,g)cosig,h)cos{k,J-) } 



Celte équation a pour racines les demi-diamètres principaux rectan- 

 gulaires. En nommant a, 6, c ces demi-diamètres , elle sera équiva- 

 lente à celle-ci : 



(9) «6 _ iî4 ( a' + J' -f c' ) + ^* ( a'*' + S'C -f c'a» ) — a'i V = o. 



Concevons deux parallélipipèdes construits l'un sur les trois demi- 

 diamètres rectangulaires a, b, c, l'autre sur les liois demi-diamètres 

 conjugués /, g, h, l'identité des équations (8) et (9) établit les rela- 

 tions suivantes entre ces diamètres : 



i«. La somme des carrés des trois diamètres principaux est égale k- 

 la somme des carrés de trois diamètres quelconques conjugués entre eux. 



2°. La somme des carrés des faces des deux parallélipipèdes est: 

 constante ; 



5°. Les volumes des deux parallélipipèdes sont égaux. 



La première et la troisième relations étaient connues. M. Binet , après 

 avoir obtenu l'équatinn (8) (voyez un Mémoire ht à l'Institut, le 20 mai 

 181 i), avait déduit, de celte équation, la seconde relation. 



Eliminant /î' et <$ , ou R^ et 4 , au moyen des équations (5) , (6), (7), 

 on parviendrait à une équation du troisième degré , dont les racines 

 seraient les valeurs des quantités <$ et 4 . qui fixent la position des 

 axes rectangulaires , par rapport aux demi-diamètres conjugués/, g-, /i. 

 On trouverait , par une méthode semblable , la relation qui existe entre 

 les diamètres principaux rectangulaires d'une surface du second degré , 

 et les coefficieus constans de léquaiion générale de celte surface. (Voyez 

 la Correspondance sur l'Ecole polyteelinique , tom. 2 , 5«. cahier. ) 



