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Solution d'un problêtne de Géométrie-^ par M. Olivier, cceçe 

 de l'Ecole Polytechnique. 



Sor pHiLoauT. M. Hacheïte a communiqué à la Société philomatique , une solution 



synthéiique de ce probième : Trois circonférences quelconques de grands 

 ou petits cercles t étant tracées sur la sur/ace d'une sphère, trouver 

 une quatrième circonférence tangente aux trois premières? Ce problême, 

 tiout M. Carnot a donoé une solution analytique dans sa Géométrie 

 de position, pasf. 41 5, avait été proposé aux élèves de l'École polj- 

 tecnique : M. Olivier l'a résolu, en menant, par un point donné ^ un 

 plan tangent à un cône oblique à base circulaire. Les trois cercles 

 étant donnés , M. Olivier fait passer par ces cercles pris deux à deux 

 trois cônes obliques (voyez Supplément de la Géométrie de.-cripiive , pa 

 M. Hachette, p;tg. 55), et il ne considère d'abord que les trois cônet 

 dont les sommets sont au-delà des plans des cercles. K remarque que 

 le plan taneent à deux de ces cônes , est nécessairement tangent au 

 troisième , "et qu'il coupe la sphère suivant un quatrième cercle tangent 

 aux trois cercles donaés. Ayant donc déterminé le premier cône , et 

 le sommet du second, on mène par ce sommet deux plans tangens 

 au premier cône , et chacun de ces plans contient un des cercles cher- 

 chés ; ces deux plans se coupent suivant une droite qui contient les 

 sommets des trois cônes. 



Les sommets des cônes obliques qui joignent trois cercles d'une sphère 

 deux à deux, sont distribués sur quatre droites, situées dans un même 

 plan. Par chacune de ces droites , on peut mener deux plans tangens 

 à l'un quelconque des trois cônes qui ont leurs sommets sur cette droite ; 

 d'oii il suit que trois cercles d'une sphère peuvent, en général, être 

 ^ touchés par un quatrième cercle de cette sphère , de huit manières 



" difl'érentcs. 



Etant données trois courbes planes d'une surface du second degré , 

 on détermine, par des considérations semblables , la quatrième courbe 

 plane qui les touche. En effet, il est évident que lorsque deux surfaces 

 du second degré se coupent, la courbe d'intersection est , en général ^ 

 composée de deux branches , et si l'une de ces branches est plane, l'autre 

 branche l'est nécessairement. D*uù il suit que par deux courbes planes 

 quelconques d'une surface du second degré, on peut toujours mener 

 une surface conique du second degré. Ayant déterminé les sommets 

 des cônes qui passent par les trois courbes planes données , on achève 

 la solution comme pour les sphères , en menant des plans tangeus à- 

 ces cônes. " HG. 



