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 une équation primitive ou Rnie et ses dérivées , tant aux différfnces Finies qu'aux 

 dirréreuct;s inliniim-nt petite. Le C.Biot observe que cette nianiière de les envisager 

 est sans (lûutt- iroj) j'ai liculiére , mais (lie suffit àson objet, qui est de leur appliquer 

 les coiisidératioiu {.géométriques. Il donne les moyens de di^lini^uer si une équation 

 proposée est aux différences mêlées proprement dite ou aux différences successives ; 

 et il fait voir que dans ce dernier cas, la recherche des équations primitives ne 

 dépend que du calcul intégral ordinaire. Les équations aux différences mêlée» 

 coiuporlent des intégndes indirectes analogues à celles des équations aux diffé- 

 rences finies , et aux sohitious particulières des équations aux 'différences infini- 

 ment petites. Elles s'obtiennent par des méthodes semblables ; le C. Biot les 

 développe et à l'aide des considérations géométriques , il montre ce qu'elles re- 

 présentent. . 



Euler dahs plusieurs mémoires a traité un grand nombre de questions dans 

 lesquelles il s'agit de déterminer la nature de certaines courbes , d'après des re- 

 lations données entre des points infiniment voisins de ces mêmes courbe», et des 

 points éloii^nés. Ce. grand géomètre employant pour résoudre ces problêmes , des 

 méthodes indirectes et particulières à chacun d'eux, le C. Biot fait ^oir que tous 

 les problèmes de ce genre , sonr du ressort du calcul aux différences mêlées; et 

 pour en donner des exemples , il a réuni dans son mémoire et résolu par cette 

 méthode , un grand nombre de questions pareilles à celles dont nous venons de 

 parler. De ce nombre sout toutes celles qu'Ealer s'est proposées dans un mémoira 

 ayant pour titre: De insigni promodone methodi tangentium irn'ersce , ( Peters» 

 bourg , tome X ). Nous allons rapporter iqi une de ces questions. 



Trouver toutes les courbes MZ qui jouissent de cette propriété qu'en partant 

 de l'un quelconque dv ses points M , et abaissant une normale MP', cette nor- 

 jnale soit égale à l'ordonnée P'M' élevée par son pied, et ainsi de suite. (Voyez 

 fig. 6, plane. IV du Bulletin N°. 53). 



Soit AP = x, PM=:j-, A'P' = a;', V'M'—f; la sounormale sera -^^^ , ol 

 les équations du problème seront 



..,2 -zzzy^ dr --^ ^ y II faut observer que ces deux équations ne doivent 



ydr (^^^ P*^ avoir lieu par elles-mêmes, mais seulement de ma-; 

 x t=. X "J" ^ ^^ \ nière que l'une étant donnée, l'autre ait lieu. 



Si l'on différeiitie la première aux différences infiniment petites , et qu'on fasse 

 usage de la seconde , on trouvera ' ■^ ■ - z=. -^'-^ . On peut donc , au systêrao 

 des équations (A), substituer les deux suivantes: 



jS I ,.,, Ces deux équations peuvent A(,J ; — ^^^ tff<.ri\ 

 C se mettre sous la forme ( y<^>- } i ^ ' 



-cnr-- d. S ~ ^\-d7-\^°-S 



La seconde nous apprenant que la quantité - est constante aux diffé- 



renées finies , on peut profiter de cette circonstance pour intégrer la première; 

 et représentant par a une quantité dont la différence est l'unité, on aura 



y -- i- a J- l f et 7'étant des fonctions arbitraires de sin. a^-» et cos. 2^*,- 



i/j 



} tet Té 

 i et sr la d 



r^ !=■ t ( et sr la demi-circonférence dont le diamètre égale i. 



On voit par-là que ce problême , qui étoit originairement aux différeoces mêlées , 



