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naissance d'un réseau N parallèle à M implique la connaissance d'un sys- 

 tème de solutions des équations (2V D'ailleurs, la résolution du système (2) 

 se ramène à la résolution de l'équation adjointe de (i), que l'on saura 

 résoudre complètement si l'on sait résoudre l'équation (i) ( ' ). Nous retrou- 

 vons ainsi les théorèmes suivants, découverts par M. Darboux (") : 



» La résolution (Vune équation aux dérivées partielles de la forme (i) et la 

 détermination de tous les réseaux conjugués à l'une quelconque des congruences 

 conjuguées au réseau M, dont l'équation de Laplace est r équation (i) sont 

 deux problèmes équivalents . 



» La résolution de l'équation de Laplace (1) relative au réseau M et la réso- 

 lution de r équation de Laplace relative à un réseau quelconque conjugué à une 

 congruence quelconque conjuguée au réseau M, sont deux prohlétnes équiva- 

 lents. 



» On trouve, pour les coordonnées de P, 



7i = sci + ,j^ ( J, — xi) (i=i, ...,n) 

 et, pour l'équation de Laplace qui s'y rattache, 



0-'^ _ 0,— /o f _ I — /i (9iog(e, — 0) 



^ ^ s I du dv 0, — /; 6 [ I — / di> 



^"^^ 1 fL_/,fi r 1 — / ()log(0,— 0) 



El 

 du 



(h 



dv' 



» Si donc on sait intégrer complètement (i), on saura intégrer complète- 

 ment (4) et réciproquement. Pour effectuer cette transformation des 

 équations (i), il suffira de connaître deux solutions x^, x„ de (i) et une 

 solution h — /de son adjointe. 



)) Des réseaux P conjugués à MN on déduit toutes les congruences dé- 

 rivant MN et, par suite, tous les réseaux dérivés de P. D'autre part, si l'on 

 connaît toutes les solutions de l'équation ( i), on en déduira tous les ré- 

 seaux j7, dérivant M, enveloppes des plans G, G, de deux congruences 

 conjuguées à M; on connaîtra les réseaux conjugués à G,, par exemple, 

 et par suite toutes les congruences harmoniques au réseau a. Donc : 



)) Si l'on sait intégrer l'équation (^i), on saura intégrer les équations de 

 Laplace relatives à l'un quelconque des réseaux dérivés ou dérivants d' un ré- 

 seau conjugué à la congruence MN. 



(') Voir G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, p. 98. 

 (-) Voir G. DarboijX, Leçons sur la théorie des surfaces, I. 11, chap. X. 



