SÉANCE DU 4 JUII^LET 1904. 33 



9, est une solution de l'équation de Laplace relative au réseau N et la droite 

 qui joint les points R', S' de coordonnées 



m y.-kt:' y-k^ ^' = "> (''^ 



du du 



engendre la congruence la plus générale harmonique à Net parallèle à RS. 



» Les droites RR', SS' se coupent en un point P de MN. Lorsque u varie 

 seul, les trajectoires des points S et S' sont respectivement tangentes aux 

 droites SR, S'R'; de même, quand v varie seid, les trajectoires des points R 

 et R' sont respectivement tangentes à RS et R'S'. La trajectoire du point V 

 est donc tangente à PR quand u varie seul, à PS quand v varie seul. De 

 plus, le système de courbes décrit par P est un réseau. Réciproquement, 

 un réseau quelconque P, conjugué à la congruence MN, coupe les plans 

 tangents aux réseaux M et N suivant deux congruences parallèles et harmo- 

 niques à ces réseaux. Il en résulte le théorème : 



» On obtiendra tous les réseaux conjugués à la congruence MN <?< les tan- 

 gentes correspondantes, en joignant les foyers R e< R', S p/ S' de deux con- 

 gruences parallèles et harmoniques , respectivement aux réseaux parallèles M 

 et N. 



M Les formules (4) définissent f), à une constante additive près a. A toute 

 solution 6 de (i) correspondra donc une infinité de réseaux P, dont les 

 plans tangents se couperont suivant la droite RS. Soient P,, Po, P3, Pj 

 quatre de ces réseaux. Le rapport anharmonique (P,, P^, P3, P4) est égal 

 à celui des plans tangents aux réseaux !',, P^, Pj, P^j et, par suite, à celui 

 des points correspondants R,, R,, R3, R, sur NR'. L'expression des coor- 

 données des points R,, . . . , R^ montre que leur rapport anharmonique est 

 égal à celui des valeurs de la constante a relatives à ces points. Il est donc 

 constant. On obtient ainsi une généralisation de la propriété signalée par 

 M. Guichard pour les réseaux parallèles conjugués à une congruence, à 

 savoir : 



M Si les plans tangents à quatre réseaux conjugués à une congruence se 

 coupent constamment suivant une même droite, le rapport anharmonique des 

 points qui décrivent ces réseaux reste constant. 



» De la construction indiquée plus haut, il résulte qu'une solution de 

 l'équation (i) fait connaître une infinité de réseaux conjugués à la con- 

 gruence et que réciproquement à un réseau conjugué à MN correspond 

 une infinité de solutions de l'équation (i). Remarquons aussi que la con- 



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