3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



rations citées celles qui correspondent aux signes —, !, y , sin, et d'une 



manière générale au signe/(/,,?o /„) si/est, d'après la définition 



précédente, représentable analytiqiienient. 



» Je dis qu'une fonction est définie analytiquement si elle est l'une des 

 racines d'un système d'équations formées en égalant à zéro des fonctions 

 de E portant sur les variables et les fonctions inconnues. Il est évident que 

 l'ensemble E| de ces fonctions contient E, il n'est pas évident que ces deux 

 ensembles soient identiques. 



» Sans restreindre pratiquement le champ des applications, on peut se 

 borner à la considération des fonctions de E, ; mais, pour que cela soit 

 possible, il faut connaître une propriété, que l'on supposera vraie, de 

 toutes les fonctions que l'on considérera, qui appartienne à toutes les 

 fonctions de E, sans appartenir à toute fonction. 



)) En précisant et complétant une indication donnée dans ma thèse, j'ai 

 obtenu une propriété caractéristique des fonctions deE,. Ces fonctions sont 

 les fonc/ions mesurables B, c'est-à-dire celles pour lesquelles, quels que 

 soient a et b, l'ensemble E (a^f%b) des points oij la fonction satisfait 

 à l'inégalité indiquée appartient à la famille des ensembles mesurables par 

 les procédés de M. Borel, ensembles que j'ai nommés mesurables B. Ces 

 ensembles s'obtiennent en effectuant, à partir d'intervalles ( '), un nombre 

 fini ou dénombrable de fois les deux opérations O,, O^ qui fournissent la 

 partie commune et la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles 

 donnés. 



» On peut donner pour ces ensembles une classification tout à fait pa- 

 rallèle à celle que M. Baire a fait connaître pour certaines fonctions. Les 

 ensembles fermés seront ceux de la classe o; puis, « étant un nombre fini 

 ou transfini de la première classe de nombres transfinis, les ensembles de 

 classe y. au plus s'obtiendront à partir des ensembles des classes inférieures 

 en effectuant d'abord O,, puis Oo et en passant aux complémentaires. 

 Quand on se borne à l'opération O. on a ce que j'appelle les ensembles de 

 rang a au plus (-). 



(') Un intervalle est l'ensemble des points (,r,, r,, .... .v„) tels que l'on ait 



les a et les /* étant tles constantes. 



(^) Si a est fini ou transfini île la première espèce, il est inutile d'eirectuer l'opéra- 

 tion O, ; les ensembles de rang i sont alors de classe a — i . 



