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)) On suppose que i- := j = . . . ^ / = o est un point double île cette 

 substitution et que, d;uis le voisinage de ces valeurs, on peut écrire 



j;' = ax -+- Q, (x. Y, ...,/), 

 y = /n' + Q.,(.r,r, ... ,t), 



t' =^lt +Q,„(a-,.7, ...,/j, 



les Q étant des séries entières, commençant par des termes au moins 

 du second degré; il est admis de plus que 



|a|>i, i^|>i, ..-, |''l>i- 



et enfin, on n'a pas entre deux quelconques des coefficients r/, h, .... /, 

 soit par exemple a et b, de relations de la forme 



a'' = b ou // = a (h et k entiers positifs). 



» 2. Ceci posé, on peut trouver des fonctions de m lettres //, r, . . ., ir, 



/(//, r, ...,tr), o('//.c, .. .,(r), ..., A(m, r w) 



holomorphes dans le voisinage de u ^ v = . . . =i w ^ o, méromorphes 

 dans les plans de ces variables complexes, et satisfaisant aux équations 



fonctionnelles 



/[an, bv, . . . , Ar) =: H, ( /, cp A) 



/gN / <?(«//, bv, .. ., Ar ) = H. (/, o, ■■.,•1'), 



[ ■h(aii, bv, ..., Ar) = R„,(/. ?'••-. ']')• 



» La démonstration de ce résultat peut se faire de différentes manières, 

 soit- par le calcul direct des coefficients des développements autour de 

 l'origine, soit en procédant par approximations successives, comme je l'ai 

 fait dans le cas beaucoup plus difficile où se présentent à l'origine des 

 singularités essentielles (Acla malhcmatica, t. XYIII et XXIII). 



» On part de la remarque que l'équation fonctionnelle 



/{au, bv, . . ., Iw) = a/(u, (',..., ir) + V(u, v, . . ., ir) 



où V{u,v, . . ., w) est une fonction holomorphe donnée autour de l'origine, 

 commençant par des termes du second degré, détermine complètement /', 

 si l'on suppose que le coefficient de la première puissance de « a une valeur 



