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ment linéaire. Écrivons que g- ds'- est celui d'une sphère de rayon i ; nous 

 trouvons 



(i) o-^ _ K ^- A, log^'- ^ o, 



K étant la courbure totale et Ao le second paramètre différentiel relatif à ds" . 

 Celte relation, ne contenant que des symboles invariants, est valable dans 

 tout système de coordonnées curvilignes. Ainsi la recherche des surfaces ( ' ) 

 qui possèdent la propriété relative au produit g- ds'- revient exactement à 

 celle des surfaces qui vérifient la condition (i). 



» Pour interpréter ce résultat dans le cas particulier des surfaces iso- 

 thermiques, nous rap|)ellerons une proposition importante que M. Darboux 

 a fait connaître (Comptes rendus, 29 mai 1899) et qui peut s'énoncer ainsi : 

 Pour qu'une surface (S) soil isothermique, il faut et il suffit que ses sphères 

 harmoniques enveloppent , en même temps que la surface (S), une autre sur- 

 face (H), dont les lignes de courbure correspondent à celles de (S). Cette 

 seconde nappe (i) n'est pas, en général, une surface isotliermique, parce 

 que la correspondance entre (S) et (i) n'est pas géographique (correspon- 

 dance avec proportionnalité des éléments linéaires). Il v a donc lieu de 

 j)oser ce nouveau proljlème : Trouver toutes les surfaces isothermiques telles 

 que la seconde nappe de r enveloppe de leurs sphères harmoniques soit aussi 

 une surface isolhermique ou, ce qui revient au même, corresponde ,gèo gra- 

 phiquement à la première. 



» Or, si l'on exprime, en s'aidant des résultats de M. Darboux (loc. cit.), 

 la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi, quand la cor- 

 respondance entre les deux nappes ne se réduit pas à une inversion (hvpo- 

 thèse qui ne donne que les surfaces à courbure movenne constante), ou 

 retrouve précisément notre condition (1). En conséquence, les sur/aces 

 isothermiques qui possèdent la propriété relative au produit g^ ds-, ou qui vèri- 

 fient la condition (1), sont identiques aux surfaces isothenniques telles que 

 leurs sphèrrs harmoniques aient pour seconde nappe de leur enveloppe une autre 

 surface isothermique, sans que les deux nappes se correspondent par inversion. 



» Ayant transformé de la sorte le [)roblème primitif, voici comment on 



(') L'ensemble de ces surfaces se déleiiiiine alséinenl, y\ec (|ualre roiiclions arbi- 

 traires, dont les arguments sont les paramètres des lignes de longueur nulle. On peut 

 ensuite restreindre la générnlilé des formules, de manière à séparer les surfaces iso- 

 liermi(|ue9. Celte solution analytique, indépendante des considérations du texte, en 

 confirme absolument les conclubiuns. 



