SÉANCE DU 29 AOUT 1904. 46l 



point limite de l'ensemble correspondant aux nombres |rt,|a|, .... ja^la/f 

 Mais il n'y en a qu'un; parce qu'en outre, d'un point limite ayant (— |i,), 

 (— Pj), ..., (— p/t-,) et de deux points limites ayant p,, .... ^^_, pour leurs 

 k — I premières coordonnées on pourrait déduire d'après (4) deux points 

 limites différents, ayant leur k — i premières coordonnées égales à zéro. 



» Ainsi chaque coordonnée des points limites de notre nouvel ensemble 

 est une fonction uniforme des autres. Or, cette fonction est continue, car 

 aux nombres limites correspondent des nombres limites. D'après (4) cette 

 fonction continue satisfait à la congruence fonctionnelle 



(5) /[(x, + x,), (y^-^y.;), ...]:=/(a:,. V,, ...) + /(or,, y,, ...) (modi). 



» A fortiori, si k — 2 des coordonnées s'annulent, et si l'on fait varier 

 les deux autres, celles-ci sont des fonctions uniformes continues l'une de 

 l'autre et satisfont à la congruence fonctionnelle 



(5a) f[{x,-^-œ.,)]=/(x,)-hJ(x.) (mod i) 



n'ayant que les deux solutions continues 



(5 aa) f\x)^± X (modi). 



)) Alors, deux points limites ayant k — i des coordonnées correspon- 

 dantes communes, les différences des autres deux à deux satisfont à l'une 

 des congruences (5aa). Or, du point limite 0,0,.. ., o, on peut passer à 

 chaque point limite par une chaîne de points limites, ayant deux à deux 

 k — 1 coordonnées communes. Ainsi, d'après (5aa), si l'on donne aux 8 

 tles signes convenables, leur somme sera im nombre entier pour chaque 

 élément de la chaîne, et par suite aussi pour chaque point limite. Or, le 

 point (|«Ja,), (la^la,), ..., (|a^|aj.) étant point limite, pour les nombres 

 entiers a, «^. de signes convenables, 



a, a, + . . . -f- a/,a;t^o (mod i), 



ce qui montre que notre condition est suffisante. 



» On établit de la même façon le théorème plus général : 

 » Pour que le système de congruences 



2,a,,^,^P, (mod.) ,^^ • 



k - ' • ; 



soit résoluble en nombres entiers pour des [i quelconques, avec une 

 approximation à volonté, il faut et il suffit qu'on ne puisse pas résoudre 



