46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



[i.. . . ., fi/,^, pour points limiles, cas déjà décidé par notre prémisse; ou on 

 ne le peut pas. Il ne nous faudra montrer que pour ce second cas l'exis- 

 tence d'une relation (2). 



» Dans ce second cas, on démontre par un raisonnement connn que, si 

 l'on donne k — i des nombres ^,, p,, ..., ri/,(o!i p,< i). par exemple [i,, 



fij i^A-i, on peut déterminer au moins d'une manière le nombre ;i^. tel 



que le point (i,, fi., . . ., |î^_,, p^ soit point limite de notre ensemble (3). 



» De la iléfinition du point limite il suit que, si les points fi,, ..., f^^ 



et Y , ■(,, sont des points limites, le point (jî, + y,), .. ,, (p^ -i-y^) l'est 



aussi (4)- 



» Étant alors défini un nombre ?>^ tel que le point o, o, ..., o, p/,. soit 

 point limite, tout point o, o, ..., o, (/ip^.) l'est aussi. De là suit que, si p^ était 

 irrationnel, l'ensemble de tous les nombres {n'fj^) étant dense dans tout 



l'intervalle (0,1), chaque point 0,0 C Ta (o5y;< i) serait point 



limite. Donc, en ce cas, il résulterait de (3) et de (4) que chaque point 

 P,, . . ., p;t (o5P/-< i) l'est aussi. Alors, pour qu'il y ait des points [i,, . . ., S;, 

 qui ne soient pas points limites, chaque nombre p/^ tel que le point 0,0, ..., 

 o, p^ soit point limite, doit être rationnel. Si p^,. peut prendre d'autres 

 valeurs que o, l'ensemble de tous ces nombres ^^ rationnels, différents de o 

 est fini parce que, autrement, d'après (4), il serait dense dans tout l'inter- 

 valle (o, i). Entre tous ces nombres il y en a un qui est le plus petit. En 



le désignant par t- — , la^ 1 doit être un nombre entier, autrement il v aurait 



I «/.■ I ■^ 



I '*■ 

 un nombre 



bre (j 1 j plus petit que — En appliquant le théorème (4), on 



voit que les S,, sont fournis parles multiples de ; ;• 



M On déterminera de la même manière les nombres |a,| correspondant 

 aux autres nombres a,. 



» On voit aisément que si, pour un point limite de l'ensemble corres- 

 pondant aux k nombres |a,|a, , . . ., ja^la^, ^-— i des coordonnées sont zéro, 

 la U^'^" est aussi nulle. 



» On va démontrer qu'en donnant aux nombres |«,p-,, ...,|a^.|a^. des 

 signes convenables, leur somme sera un nombre entier. 



» D'abord, l'ensemble correspondant aux nombres a,, ..., a^._, ayant 



chaque point -^, •••, -^^ (oâpj<i) pour point limite, chaque point 



Po ..., Pa_, l'est aussi pour l'ensemble correspondant aux k — i nombres 



a,|a,, ..., ja/i_, [a^._,. Etant alors donnés les nombres p,, ..., pyi_,,il y a 



d'après (3) toujours un nombre p^. tel que le point p,, ..., p/;_,, p^ soit 



