SÉANCE DU 29 AOUT 1904. /jDQ 



THÉORIE DES NOMBRES . — Sur la résolution approchée de certaines congruences. 

 Note de M. Fhédéisk: Riesz, présentée par M. Emile Picard. 



« On sait que, si l'on part d'un point d'une circonférence et qu'on y porte 

 I, 2, 3, ... fois une partie irrationnelle de la périphérie, la série infinie des 

 extrémités sera dense sur toute la circonférence (i). 



» Ce théorème comporte une généralisation. 



» On désignera par (a;) la différence positive du nombre a? et du nombre 

 entier immédiatement inférieur. Pour que, étant donnés les nombres ot,, 

 a,, ..., a^t, l'ensemble de tous les systèmes («x,), (naj), .,., (hol/,) 

 {n prend toutes les valeurs entières positives) soit dense dans tout l'intervalle 



ô'^oc^<\, o<:r2<i, ..., o<Xk<i, 



il faut et il suffit qu'il n'existe pas de relation 



(2) «, y., + «oao +. . .-i- rt^y-A^so (modi) 



à coefficients entiers (excepté naturellement le cas singulier 



«, = «^ = . . .= «/, = o). 



» On appellera le système fi,, [io, ..., [3^ (o^ [3,<[ i) point limite de l'en- 

 semble formé par tous les systèmes (na,), (na.^), ..., (na^), si, pour 

 chaque nombre positifs aussi petit que l'on veut, il y a un élément (nv., ), 

 (nao), . . ., (net/,) autre que p,, ^.^, ..., Pa, tel que les valeurs absolues des 

 différences p, — (wot,), [i^ — («Xo), ..., 'p,, — {nv.,,) ne soient pas situées 

 entre £ et i — s. 



» Or s'il y a entre les a une relation (2) à coefficients entiers (y compris 

 zéro), tout point limite [ï,, [i.j, ..., fi/,, de l'ensemble défini doit aussi satis- 

 faire à la relation 



a, [i| -4- a.&o + . . . + aA[i/,ï^o (mod i). 



» La nécessité de la condition est donc évidente. 



» D'après (1), la condition est aussi suffisante pour le cas ^- = i. Or, en 

 raisonnant par récurrence, il nous faut démontrer que, si elle l'est pour 

 k — I nombres a, elle l'est aussi pour k nombres. Étant alors donnés k nom- 

 bi'es a,, a^, . . ., (Za tels que l'ensemble de tous les éléments (a* a,,), («a,), . . ., 

 {liai,) n'a pas tous les points p,, p., . . ., p/, (o5p,< i) pour |)oints limites, 

 on distinguera deux cas : ou l'on peut chercher X- — i des nombres a,, 

 a^, . . . , «A! tels que l'ensemble correspondant n'ait pas tous les points p,. 



