SÉANCE DU 8 Aorx T904. Sgg 



les deux autres, de/igure (si) (i) (11), ont pour équations 



a''=b-^î, c'=^b, d-^a, e''=h^'a, ((i'^o. t), 



b^ab = c"' rtc = d- ' ad = e^'ae — a, 



c'bc = d'bd = e'be = h, d-' cd = er'ce = cb, e'de = dc. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de M. Borel dans la théorie des 

 fonctions entières. Note de M. Rémouxdos, présentée par M. Appell. 



« 1. Le théorème de M. Borel, qui a servi de base dans mes recherches 

 sur l'extension (') aux fonctions multiformes du théorème de M. Picard 

 et de ses £^énéralisations, est susceptible d'une extension très intéressante. 



)) Si le nombre des exponentielles, qui figurent dans les identités de 

 M. Borel, est infini, son théorème subsiste-t-il? 



» Voici le problème qui se pose tout naturellement : 



» Considérons l'identité 



(,) Q, «)e"'<=' + Q,(;)^"''=' + • • • + Q„(:;)e""'=' + . . . = o. 



où les Q,(z) désignent des polynômes et les II,(=) des fonctions entières 

 absolument quelconques. Je démontre que cette identité est impossible, si 

 toutefois une certaine condition, concernant la rapidité de convergence de 

 la série (i), est remplie. 



» J'y arrive |)ar une voie détournée, qui consiste en ce que, si l'iden- 

 tité (i) était- possible, il y aurait une fonction multiforme u{z) définie par 

 une équation telle que 



(2) F(.-, ii)^h,{z) + \,{z)u+ k,{z)u^ + ...^ k„{z)u" + . 



o, 



F(=, u) étant une fonction entière des z et u, qui admettrait un ensemble 

 dénombrable (E) de y ràeuvs, exceptionnelles, ayant un point limite à distance 

 finie. Or, j'ai démontré dans un Mémoire, |)résenté à la Faculté des Sciences 

 de Paris comme Thèse de l'Université, <p:e l'ensemble des valeurs excep- 



(') Sur les zéros d'une classe de fonctions transcendantes {Comptes rendus, 

 20 avril igoS, 8 février 1904, 20 juin 1904 et Bul. Soc. matliém., 1904, fascicule l). 



