SÉANCE DU 8 AOUT ipo^. 897 



» 3. Dans l'hypothèse 



G est produit direct ou de figure (ri2)(i i) ('). Dans V hypothèse 



[j. ^= 1, G métabdlien =^ k, /' , 



G t-st de figure (rs)(^ii) (■). Ces deux cas sont complètement traités clans 

 ma Thèse. 



» 4. L'hypothèse 



^=z 2, G non mètahèlien = \e,/\ 



fournit des résultais nouveaux. Eu désignant par p'^ l'ordre du commuta- 

 teur e 'y-V/= c, exprimant que CP est .ibclieri et que e''\ f'' sont dans A, 

 on trouve y = 2. La recherche directe des éléments normaux montre que A 



CP G 



divise CP et l'on remarque que -j- est le central de — > donc que CP est le 



deuxième central de G. 



» En supposant p^ -2., remarquant que c^,/^ sont indépendants (mod. A), 



on voit que -^ est défigure (11) (11) el d'un type déterminé par les équa- 

 tions (') {mod. A) 



cP^EidP^ii, e''~c, fP-=d, d-*cd^e-*ce^^f-'cf^^c, 

 e-' de =/-' rf/= d, /-' ef= éd. 



)) Comme CP ou j A, c, d\ est plus grand commun diviseur des gp^-^ 

 deG(^), un «•^"-i quelconque de G sera jA, c, d, f"e^\ et aura pour central 

 |A, d"c'\. Pour que G ait tous ses gp"^' abéliens, il faut et suffit que tout 

 gp"-< de G ait tous ses diviseurs abéliens, c'est-à-dire, comme on le voit en 

 appliquant la condition donnée dans ma Thèse {^) et tenant compte des 

 conditions d'ordre et de figure de G (^), que l'on ait 



\A,d"c'~\ = \cP,dP,c'/J'"\ 



(') Thèse, n° iT el p. iSg, figure ( r*- 1) (i i), (/i). 

 (') Thèse, n" 24 et p. i63, figure (/•«)( 22). 



(') Cf. De Séguier, Éléments de la théorie des groupes abstraits, n" 148, p. i3o. 

 (') Bag.nera, B. a. L. fi., 1898. A. D. M., l. Il, 3" série, p. 264. 

 ( = ) Thèse, n» 13, p. 2^. 



C) HôLDER, M. A., t. XLIII, 1893, p. 3oi. — De Séguier, /. M., t. VIII, 5= série, 

 1902, p. 253; Eléments de la théorie des groupes abstraits, n° 19. 



