SÉANCE DU 8 AOUT igo'). 395 



» Il s'agit d'exprimer, en fonction de x, y, :■, t et de leurs dérivées, les 



quantités (V.,, V,, V„ V,). (J,,., J,, J.. J, ) Or on a 



(B) 



/ 



V, == 'Cl -\-py - qx ^ J^> 



et des formules analogues pour (J^, J,, J^, J,) 



» Après avoir traité les déplacements à un paramètre, il nous reste à 



étudier les déplacements à 2, 3, 4, 5 paramètres. Supposons, par exemple, 



que le létraèilre T,„ <lépenile de deux paramètres u et v. Lorsque u variera 



seul, il admettra les vitesses E, r,, l,p, q, r, et, lorsque r variera seul, les 



vitesses E,, r,,, ■(,,/>,, f/,, /•,. (x,, x.,, x.„ x,), ..., (^, ij, ^|, /,) satisfont au 



système (A) et au système obtenu en remplaçant, dans ce dernier, u par v 



et en affectant de l'indice i les coefficients E. "O, 'C, p, q, r. On déduit de là, 



par dérivation, six relations entre les douze fonctions E, . . ., r, . Ce sont les 



conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un déplacement à deux 



paramètres dans lequel les vitesses soient E, ..■, ^,- Pour abréger, nous 



n'écrirons ces relations que dans le cas particulier suivant. Considérons 



une surface rapportée à ses lignes de courbure cayleyennes M = const., 



(,' = const., et soit 



ds- = k-dii- + i^-dv' 



l'expression du carré de son élément linéaire. Attachons à tout point O^ de 

 la surface le tétraèdre O, OoOjO,, défini par la, condition que les arêtes 0,0,, 

 O^Oi soient tangentes aux lignes de courbure qui se croisent en ce point. 

 On aura 



()\' Ou 



M Ces relations ne diffèrent des relations analogues de la Géométrie 



