^S ACADÉMIE DES SCIENCES, 



aux ('r|n;ilions tonrlionriolles 



f{au)=^V.,\f(u).o{u)l 



r^(ou)= Ro[/(»), o(//)|. 



Mais ce résultat ne donne rien de nouveau. En effet, de ce que \a\ est dif- 

 férent de un, il résulte que la courbe F admettra une infinilé de transfor- 

 mations rationnelles en elles-mêmes et, par suite, elle sera du genre zéro 

 ou un. Si la courbe est du genre un. la constante a sera nécessairement un 

 entier (sauf le cas de multiplication complexe). 



» 4. Que donnent les considérations précédentes pour une surface algé- 

 brique? Nous supposons que, pour une surface algébrique 



F(;r, V, s) = o, 

 il y ait une transformation rationnelle en elle-même 



x' = R,(a-, J, s), 



:' = \\.J.r,y, z) 



susceptible, dans le voisinage de l'origine (ap|iartenant à la surface), de 



se mettre sous la forme 



.T'=a.r -l-Q,(a:, 7), 



y' = by-{-Q.,(x,Y), 



Q, et Q., commençant par des termes au moins du second degré, en admet- 

 tant de plus que 



» On pourra alors exprimer les coordonnées x, y, z d'un point quel- 

 conque de la surface par les formules 



,T =/■(«,('), r = (p(M, p), z = ■j[U,i'), 



f, f^, i étant des fonctions méromorphesde u et c, satisfaisant aux équations 



fonctionnelles 



/(au, bv) = W,[f(u,i''), o(u,i'), ^(u,*')], 



o{au, bv) = \\..\/(u, i'), o{u,v), ■!/(«, (^)], 



<l(au,bv) = R.,[ /'(■//, (-'), o(u.v), Mu,v)\. 



» Quelle est l'élcndue de la cliissc des surfaces que nous venons de ren- 



