SÉANCE DU [\ JUILLET 1904. n 



donnée (soit l'unité). Il est alors facile de montrer que les approximations 

 successives 



fn{au, bv, . ..,lw) = «/„(«, (■ w) + O, [/„_,, o„_ •:„_,]. 



ç„(aw, fw, ...,/»•) = bo„(u, r, ...,w)-h Q, [/„_,, o„_,, ..., :„_,], 



<l„{ati,bv ,hv) = l ^„ (//,(• "') + Q/«l./"-i'?»-, ,■]',, , I, 



où l'on part de 



/u = '/• 



.i_ = 



et où, dans /'„, çp„ i,,, les termes du premier degré sont respective- 

 ment u, r, . . ., »', convergent Uniformément vers une limite. On obtient 

 ainsi la solution des équations (2), Ii()lomor|)he autour de l'origine; on 

 fait enfin aisément, au moyen de ces équations fonctionnelles elles-mêmes, 

 le prolongement analytique des fonctions pour toutes valeurs de u, r, . . ., 

 lï-, de nianière à avoir des fonctions partout mcromorphes. 



» 3. Le résultat précédent s'étend au cas où l'on aurait, au lieu des 

 m lettres indépendantes x, y, ...,/, ces m lettres liées par une relation algé- 

 brique admettant une transformation rationnelle en elle-même. Il suffira 

 de prendre le cas d'une courbe et celui d'une surface algébrique. 



» Soit une coui;be algébrique 



Y(x, y) = o 

 admettant la transformation rationnelle 



(■^0 



a;'=R,(.r,j), 

 7'=R,(.r.j). 



» Nous supposons que l'origine soit un point simple de la surface et un 

 point double de la transformation précédente. Alors, autour de l'origine, 

 les équations (3) se ramènent à l'unique équation 



x' = ax -\~ Q,(.r), 



Q, ne renfermant pas de terme du premier degré, et nous faisons l'hypo- 

 thèse que \a\ est supérieur à un. Dans ces conditions l'analyse du para- 

 graphe précédent est applicable, et l'^n a finalement, pour la courbe F, 



*■=/(")• v = ?(w), 



/ et cp étant des fonctions méromorphes 'de // dans tout le plan, satisfaisant 



