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ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 25 JUILLET 1904, 



PRÉSIDENCE DE M. MASCART. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIOINS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur une équation fonctionnelle. 

 Noie de M. Émii.e Picard. 



« 1 Une équation foncliunnelle de forme très particulière, considérée 

 par Abel, a conduit les géomètres, il y a longtemps déjà, à étudier l'équa- 

 tion fonctionnelle plus générale 



(i) '!^{Y)=^jy{^r.)V{x,y)dx. 



,, Dans cette équation ç(y) est nne fonction donnée de y et V{x,y) est 

 une fonction donnée de x et y; l'inconnue est la fonction f{x). 



,, Dans un remarquable Mémoire, M. Volterra a fait une étude appro- 

 fondie de l'équation (.) {Atli délia R. Arc. di Scienze di Torino, iSgS-iSgb), 

 et il a obtenu, sous des conditions très générales, la fonction cherchée f{x). 

 A peu près vers la môme époque, M. Le Roux s'occi.pa.t de la même 

 équation dans les Annales de i École Normale (3^ série, t. XII, iHgS, p. 244)- 

 Sa méthode extrêmement simple consiste à procéder par approximations 

 successives; elle semble cependant conduire à un résultat moins gênerai 

 que celui de M. Volterra, en ce que le champ où se trouve définie la fonction 

 cherchée f{x) est plus limitée, mais cela tient uniquement au mode de 

 démonstration de M. Le Roux. Il est aisé de voir que le résultat obtenu a la 

 même généralité que celui de M. Volterra. Ayant consacré cette année 

 quelques leçons à celte équation, j'ai présenté sous la forme suivante 

 la méthode de M. Le Roux, en introduisant dans l'équation un paramètre X 

 et développant suivant les puissances de X ce qui dans le cas d'une relation 



C. R., 1904, 2- Semestre.]::,{T. CXXXIX, N° 4.) 



