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linéaire par rapport à f{oc) [comme l'équalioa (i)] est une manière 

 d'opérer par approximations successives. 



» 2. An lieu de l'équation (i), j'envisage donc l'équation avec le para- 

 mètre constant "k, 



?(,r) = f f(j^-) PC'^s ■ï")'^^ + ^ r/(-^)[P(^' y) - P(-^-. ^r)] dx, 



qui, pour X=i, donne l'équation (i). Nous supposons que \\x,y) est 

 continue, quand .r et y varient de o à a (a > o), et que, de plus, dans cet 

 intervalle ^{x,x) est différent de o. On se propose de mettre la fonction 

 cherchée /( a?) sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances 

 de \, 



( 2 ) f(x) = ./„ (x) + \f,{x) + ... + l-f,, (x) + . . . ; 



les fonctions fi{x) se déterminent immédiatement de proche en proche. 

 On a d'abord 



puis, en posant 



f"^^"")- \>[x,^y 



on a, d'une manière générale, 



fn{oc) = - pi / f„-,{ll) -(il, x) du. 



\ 1 ) *- () 



» Soit M la valeur absolue maxima de /„ {^oc),x étant compris entre o et a; 

 soit aussi, quand x et y varient dans le même intervalle, 



|P(a-,j?)i>B et \T.{x,y)\<ib\ 



on démontrera de suite l'inégalité 



l/,(^-;)l<M^* 



» Il en résulte que la série (2) est une fonction entière de \ quand x reste 

 dans l'intervalle initial (o, a). On peut donc faire >. = i, et la série 



(3) /(-r) =f,{x) +f,{x) +. . .+ /;,(.r) +. . . 



donne la solution de l'équation fonctionnelle (i), où il est, bien entendu, 



