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genre k, et dont les zéros forment une suite satisfaisant aux conditions 

 précédentes. Traçons de chaque racine a„ pour centre un cercle dont le 

 rayon est uae fraction arbitraire, mais ?\y.e, de la distance au centre voisin, 

 et excluons ces cercles du domaine de la variable j-e'"^. Appelons enfin n le 

 nombre des a„ de module au plus égal à r. La valeur de la fonction, dans la 

 région cnnscnve du plan, est 



^±i|fl?-»l-(?-k)-l 



" T. -. ; (I . 



O SMilp— /-)K 



avec le signe -\- pour a5©< a + -, le signe — pour a — t^ç^ix, et s,, 

 tendant vers zéro pour n infiniment grand (' ). 



» Cette formule, qui s'étend d'elle-même à un produit de facteurs, se 

 prête à deux applications intéressantes et voisines : à la continuité des 

 racines d'une fonction à coefficients variables, à la détermination, par ré- 

 gions, des racines d'une somme de fonctions. 



» L'étude du quotient par z"" (m entier) de la dérivée logarithmique 

 d'une fonction dont les racines forment une suite à croissance et orientation 

 simples, conduit à une valeur asymptotique de ce quotient, valable lorsque 

 la variable est extérieure à une région comprenant les racines et d'épais- 

 seur — ^ dans le voisinage de la «'«™% e„ tendant vers zéro. On peut ensuite 



tracer dans toute l'épaisseur de cette zone, entre deux racines consécu- 

 tives, des fragments de couronnes à l'intérieur desquels on connaît le signe 

 de la partie réelle ou de la partie imaginaire du quotient. Grâce à cette 

 double connaissance et à l'application du théorème de Cauchy, on obtient 

 les propriétés que voici : 



» Si une fonction f{z) de genre k et d'ordre p non entier admet pour ra- 

 cines les termes d'une suite à croissance et orientation simples, on peut tracer, 

 pour n assez grand, une infinité de cercles dont le centre soit à V origine et qui 

 comprennent les n premières, de manière qu'à l'intérieur de chacun d'eux le 

 nombre des racines de f'(z-) soit égal à n + k — i . 



» La méthode s'étend aux fonctions qui, an lieu d'une, admettent plu- 

 sieurs suites do la nature indiquée. Prenoii'^, par exemple, le cas de deux 

 suites à directions opposées et telles que le rapport des nombres de leurs 



(') Une formule équlvalenle à cette expression asymptotique a été obtenue en fonc- 

 tion de /■, en même temps que d'autres, par M. E. Lindelof, mais dans des conditions 

 différentes : les «„ positifs, <5 constant et diiiérent de zéio. 



