SÉANCE DU 24 OCTODRE 190/». 627 



racines dans un cercle de rayon r (et dont le centre est à l'origine) tende 

 vers I pour r infini. Si k est pair, le résullrit précédent subsiste; s'il est 

 impair, le nombre trouvé s'abaissa d'une unité. 



» J'ajoute que l'on j)eut fréquemment isoler les racines de /'(s) dans 

 une région déterminée. 



» I-agucne a démontré que, si luie foiiciinn entière réelle de genre k a un. 

 nombre fini s de racines imaginaires, sa dérivée admet , en dehors des racines 

 que le théorème de Rolle met en évidence, au plus k -\- s autres racines. 



» En me servant des mêmes considérai ions que plus haut, je complète 

 ce résultat; bornons-nous, pour simplifie!-. ;iu cas de l'ordre rée! supérieur 

 au genre : si les racines de la fonction sont limitées supérieurement (ou infè- 

 rieurement), il y a pour la dérivée exactement k + s racines supplémentaires ; 

 sinon, il y en a k -\- s ou k -\- s — ^ , selon (pie k est pair ou impair. « 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations aux dérivées partielles 

 du second ordre (*). Note de M. S. Bkkxsteis, présentée par M. Emile 

 Picard. 



M J'ai indiqué dans ma Thèse (Chap. IV, § 27) une méthode qui permet 

 de réduire le problème de Dirichlet (Rawhrertaufgaben) poiu' des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre de forme très géuérale à un simple 

 prolongement analytique. La question importante est de reconnaître dans 

 quels cas ce pi-olongement est possible. Je me bornerai dans celte Note à 

 appliquer ma méthode à l'équation 



/ ^ ô-z 0-:^ rf dz dz 



0) â^ + ;7^=/ ^'^^''- 



en supposant essentiellement que-r^^o el de plus en admettant, pour |)lus 



de simplicité, qiiey(,r, j, o, o, 0)= o. Ee lemme fondamental énoncé dans 

 ma thèse (^loc. cit.) peut se mettre ici sons la forme suivante : 



» Lemme. — Si l'équation (i) admet une solution régulière (ayant des déri- 

 vées finies des deux premiers ordres) z, qui sur la circonjérence C se reluit à une 



(') Compaier avec ma iNote du 18 avril K)!'^ '• ■'>'"'' certaines équations différen- 

 tielles ordinaires du seeond ordre. 



