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un polvnome en x, jet :■, s'annulant sur la courbe double de la surface. 



Le théorème qne nous avons en vue est le suivant : 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface ait r intégrales 

 distinctes de différentielles totales de seconde espèce, est que Vèquation E soit 

 réri fiée par r polynômes en y linéairement indépendants. 



» La démonstration de ce résultat va nécessiter diverses remarques. 



» 3. Partons d'un système fondamental d'intégrales (périodes de I) de 

 l'équation E, soit 



0),, M.,, . . ., <x>.2p, 



et désignons par 



une substitution quelconque du groupe de l'équation E; les tn sont des 



entiers. 



» Écrivons les équations du premier degré par rapport aux lettres P,, 



P. P,p, 



(2) P, = w',P,^-m;p,^-...^-w;^P,p (i = r,2 2/j), 



et cela pour toutes les substitutions du groupe (on pourra se borner aux 

 substitutions fondamentales). J'ai démontré que, si l'on peut satisfaire à 

 toutes ces équations, r étant le nombre des lettres P restant arbitraires, il 

 y a pour la surface r intégrales distinctes de seconde espèce, et inverse- 

 ment. 



)) Ceci rappelé, cherchons à quelles conditions l'équation différentielle E 

 admettra comme solution un polynôme. Celui-ci sera de la forme 



l|tO. + >.>0J^ -t-. . . + >.2/,( 



■2p, 



les 1 étant des constantes. Il faut et il suffit que l'expression précédente ne 

 change pas, quand on effectue sur les w toutes les substitutions du groupe 

 deE; ceci entraîne les équations 



(3) A, = >,m;-f->.,TO:-4-...H-lo/,wj'' (f= I, a, . .., 2/;). 



» Si le théorème énoncé est exact, la possibilité de satisfaire à l'en- 

 semble des équations (2) entraîne la même possibilité pour l'ensemble des 

 équations (3), et le nombre des P et des >. restant arbitraires sera le même. 

 Telle est la question algébrique à laquelle nous sommes ramené. 



)) 4. Il est manifeste que, si le groupe de E était quelconque, il n'y aurait, 



