SÉANCE DU 2 1 NOVEMBRE (904. .S/jq 



cette proposition de façon à répondre au problème plus général que nous 

 avons rappelé. C'est cette extension qui fait l'objet de la présente Note. 



» II. Nous supposons donnée une certaine catégorie C d'éléments quel- 

 conques (nombres, surfaces, etc.), dans laquelle on sache discerner les 

 éléments distincts. Nous pourrons dire que U^ est une fonction (ou opéra- 

 tion fonctionnelle^ uniforme dans un ensemble E d'éléments de C, si à tout 

 élément A de E correspond un nombre bien déterminé \]y. 



» Pour arriver à la notion de continuité d'une telle fonction, nous sup- 

 poserons acquise une définition qui donne un sens précis à cette phrase : 

 la suite infinie A,, A,, . . ., A„, . . . d'éléments de C a une limite B. Il nous 

 suffira que celte définition, d'ailleurs quelconque, satisfasse aux deux 

 conditions suivantes : 1° si la suite A,, A„. . . ., A„, ... a une limite, toute 



suite A^, Ap formée d'éléments d'indices croissants de la première 



suite a aussi une limite qui est la même; 2° si aucun des éléments A,, 

 A2, ... d'une suite quelconque n'est distinct de A, celte suite a une limite 

 qui est A. 



» Ceci étant, nous appellerons élément limite d'un ensemble E, un élé- 

 ment A qui soit la limite d'une suite d'éléments distincts pris dans E. Un 

 ensemble E sevA fermé s'il ne donne lieu à aucun élément limite ou s'il 

 contient ses éléments limites. 



» Nous pourrons dire maintenant qu'une opération fonctionnelle U uni- 

 forme dans un ensemble fermé E est continue dans E si les nombres \]^^ 

 tendent toujours vers U^ lorsque la suite quelconque d'éléments de E : 

 A,, . . -, A„, . . ., a pour limite A, quel que soit l'élément limite A de E. 



» Enfin nous appellerons ensemble compact tout ensemble E tel qu'il 

 existe toujours au moins un élément commun à une suite infinie quelconque 

 d'ensembles E,, E., ...,E„, ..., contenus dans E, lorsque ceux-ci (possédant 

 au moins un élément chacun) sont fermés et chacun contenu dans le pré- 

 cédent. 



» III. Moyennant les définitions précédentes, nous arrivons immédiate- 

 ment à la généralisation annoncée : 



» Théorème. — Toute opération fonctionnelle^ i^unif orme et continue dans 

 un ensemble compact et fermé E : V est bornée dans Y.; 1° y atteint au moins 

 une fois sa limite supérieure. 



» IV. Le théorème précédent faisant jouer un rôle important à la notion 

 d'ensemble compact, il y a lieu d'étudier les propriétés d'un tel ensemble. 

 On y parvient plus facilement au moyen de la proposition suivante : 



» La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble E soit compact 



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