SÉANCE DU 2 1 NOVEMBRE 1904. 85l 



» Comme pour la série (I), la convergence de la série (II) pour la 

 valeur cpo de la variable dépend seulement de la manière dont se comporte 

 y(<p) autour de ç„. 



» Posons 



» Si h{i) admet une intégrale, la série (I) converge vers/(fp), ainsi que 

 l'ont montré MM. Dini et Lebesgue; la série (II) converge également et a 

 pour somme 



(en laissant de côté b^ qui reste arbitraire). 



» Si /(<p) est à nombres dérivés bornés dans un intervalle, g(/f) est 

 continue dans cet intervalle ; il en est de même si l'on a 



l/(") — /(?)( <-^l" — ?P (^>^) (condition de Lipschitz) ('). 



» La condition de Dini-Lebesgue n'est nullement nécessaire pour la con- 

 vergence de la série (II). Pourtant si, /étant intégrable au sens de Rie- 



mann, le rapport =^—^ — conserve un signe constant au voisinage 



de / = o, cette condition est nécessaire : si h(t) n'est pas intégrable, la 

 série (II) a une somme infinie. 



» On voit que la série (II) peut être divergente quand la fonction /est 

 à variation bornée. 



» Si /(cp) est à variation bornée, ])our que la série (II) converge, il faut 

 et il suffit qu'en posant 



/(y + 3 0— /( ç -t- o )' '—/( 9 — 2 O + ,/■( 7 - o ) 



l(i) = 



l'intégrale 



f l(t)dl (a>o) 



tende vers une limite quand e tend vers zéro. 



» La fonction intégrée pouvant ici changer de signe une infinité de fois, 

 cette condition a un tout autre sens que celle de Dini. 



(') On peut démontrer que les séries (1) et (11) convergent alors tiniformémenC. 



