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proposition analogue à celle démontrée par M. Borel, par une voie diffé- 

 rente, et relative aux fractions— telles que 



7 * 



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<j-\o 



» Si Ton suppose seulement B = p-A'"", £ et y. étant des nombres positifs 

 quelconques, il existe toujours des nombres a, tels que, pour certaines va- 

 leurs infiniment grandes de A, on ait toujours 



P 



lorsque q est compris dans rintervalle (A, 13). 



» Désignons par o(h) le nombre de solulions, en nombres entiers, des 

 inégalités 



P-y. 



< 



(o<q</>). 



» On a loujouis, quel que soit le nombre irralionnel a, 



.K^)>^logA. 



» Si la fraction continue que représente a a ses quotients incomplets 

 limités, on aura toujours 



A et B étant des nombres positifs iixes. 



)> Dans les autres cas, la fonction 9(/') a une allure irrégulière; on voit 



facilement, en tout cas, que -^ — tend vers zéro avec y 



» II. Il m'a paru intéressant de généraliser la théorie de la représenta- 

 tion décimale, en considérant la suite des valeurs approchées de oc à —, 



— ) ■ •• près, <7|, q^ q, étant des entiers tels que l'on ait q„+sîliq„> 



moyennant quoi on peut affirmer que les valeurs approchées par défaut 

 ne décroissent jamais et que les valeurs approchées par excès ne croissent 

 jamais, et l'on peut raisonner comme s'il s'agissait des valeurs approchées 



a 7^ près. 



