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nome. En se servant d'un théorème que j'ai démontré dans une Commu- 

 nication récente {Comptes rendus, i\ novembre 1904) sur cette équation E, 

 on peut arriver à donner pour p„ une formule générale applicable à tous les 

 cas; c'est ce que je me propose d'indiquer succinctement. 



» 2. Une première recherche à compléter est celle du nombre des 

 périodes (telles que les ai envisagées) de l'intégrale double 



("> JJ 7. ' 



/=o étant l'équation de la surface et le polynôme P étant seulem.ent 

 assujetti à s'annuler sur la courbe double. Nous avons trouvé pour ce 



nombre 



N — 2/j — (jn — 1) 



quand la surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde 

 espèce. L'énoncé général est maintenant le suivant : le nombre des périodes 

 de l'intégrale (2) est égala 



N — np — (?n — i) -h r 



s lia surface a r intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce. 



)) Je rappelle en outre qu'à la fin de ma Communication récente j'ai 



indiqué que/e nombre des conditions exprimant que C intégrale double (2) est 



de seconde espèce est égal à 



ip — /'. 



« 3. Avec les résultats précédents, dont la démonstration rigoureuse 

 exige une analyse assez longue, il est facile de trouver le nombre p„ des in- 

 tégrales doubles distinctes de seconde espèce d'une surface /. Il n'y a qu'à 

 suivre la même marche que dans mes recherches antérieures, où l'on avait 

 r=o. On est ainsi conduit à la formule générate applicable à tous les cas': 



(3) p„ = N — 4p — ('" — i) + 3'--(p — i)- 



» Il s'agit bien entendu d'une surface / que nous appellerons à singula- 

 rités ordinaires, c'est-à-dire n'ayant c^viune ligne double avec points triples 

 sur cette ligne double, qui ne présente d'ailleurs aucune particularité excep- 

 tionnelle. 



» Si, outre ces singularités, la surface possédait des points doubles 

 coniques isolés, la formule générale serait à modifier de la manière sui- 

 vante. Représentons par d le nombre des points doubles isolés, les autres 



